連立微分方程式の解き方について

Aの連立微分方程式
{y'₁(x)=4y₁(x)+2y₂(x)
{y'₂(x)=2y₁(x)+3y₂(x) 初期条件 y₁(0) = 2, y₂(0) = 1
↑
Aの連立微分方程式からまず行列を書くので
|4 2|
|2 3|
↑
と書きます。しかしここから固有値を求め、さらに固有値に対する固有ベクトル計算するとどうしても計算できなく、計算サイト(WolframAlpha)を使っても√を含む値が出てしまい、計算できなくなってしまいます。
問題を記載するにあたってタイピングミス等はありません。

誰か、わかる人教えてもらえないでしょうか？
マジで解けなくてほんとに困っています。

質問者からの補足コメント

• 補足ですいません。
  対角化まで求め終わっており、固有値を求め終わり、それに対する固有ベクトルを求めたところ√の値が出てきてしまい、その先から進まない感じです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/16 15:38

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/18 21:39

No.6 間違い。

　　v(x)[1]=K[1] e^(λx)
　　v(x)[2]=K[2] e^(μx)
という任意係数Kが必要でした。なので、
　　w(x)[1]=K[1](1-e^(λx))
　　w(x)[2]=K[2](1-e^(μx))
です。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/18 12:08

まだ解決しないようなので、ちょっと頑張って書いてみます。

問題は
　　(d/dx)y = Ay,　y(0) = y0
ただしAの転置をA'と書くことにすると、
　　A'=A

[1] Aを分解する。A'=A なので
　　AQ = QΛ
とできる。これは固有方程式に他ならない。Λは固有値の対角行列なので、
　　Λ[1,1] = λ, Λ[2,2] = μ
としよう。Qは正規直交行列
　　Q'Q = QQ' = I
（それぞれの固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交。また、固有ベクトルを（0でない）定数倍したものも（固有方程式を満たすから）固有ベクトル。なので、長さ1の固有ベクトルが選べる。）で、具体的には
　　U[1,1]=1, U[1,2]=-q
　　U[2,1]=q, U[1,2]=1
として
　　Q = (1/√(1+q^2)) U
とすれば
　　Q'Q = QQ' = I
が満たされる。（ただし未知数qが残っている。）

[2] 微分方程式を解く。左からQ'を掛けて
　　Q'(d/dx)y = Q'Ay
右辺はAをQΛQ'と書き直す。左辺はQ'が定数なので
　　(d/dx)(Q'y) = Q'(QΛQ')y
右辺を整理して
　　(d/dx)(Q'y) = Λ(Q'y)
だからベクトルv(x)を
　　v(x)[1]=e^(λx)
　　v(x)[2]=e^(μx)
とおくと
　　(Q'y) = v(x) + const1.
と解ける。ここでv(x)の代わりにベクトル
　　w(x)[1]=1-e^(λx)
　　w(x)[2]=1-e^(μx)
を使って
　　(Q'y) = -w(x) + const2.
と書き直し、左からQを掛けると
　　y = -Qw(x) + Q const2.
となる。w(0)=0なので右辺第2項はy0。すなわち
　　y(x) = - (1/√(1+q^2)) U w(x) + y0
と解けた。（qと2つの固有値がまだ決まっていないが。）

[3] 未知数qをやっつける。
　　A[1,1]=a, A[1,2]=b
　　A[2,1]=b, A[2,2]=c
において
　　AU = UΛ
を展開すればqがλ、あるいはμで表せて
　　q = (λ - a)/b = (c - μ)/b
となる。（どちらでも同じ。）

[4] 固有値λ,μを計算するには
　　| A - ξI | = 0
すなわち
　　(a - ξ)(c - ξ) - b^2 = 0
を解いて二つの解　ξ=λ と ξ=μ を出す。

　というわけで、ご質問では一番最後の部分にまず着手しているために計算がヤヤコシくなったんだと思われます。早くから具体的な数値を書き込んでしまって、さらにそれを「簡単」にしようとして何度もいじくると、計算ミスもするしメンドくさいことになりがち。ギリギリまで数値を使わないのが吉。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/16 19:45

ちょっと試してみたところによると, ラプラス変換すると少しだけ楽かもしれん.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/16 19:20

固有値とか固有ベクトルの成分とかに √ が出てきたって、

単に計算がウザいというだけで、特に数学上の不都合はないでしょう？
それは「解けない」というのとは違う。
根性出して計算するか、掲示板に投げて親切な人に計算代行させるか
くらいでしょうね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/16 17:15

y=y1

z=y2
x=t
Dy=y1'
Dz=y2'
とする

Dy(t)=4y(t)+2z(t)
Dz(t)=2y(t)+3z(t)

Dy(t)-4y(t)-2z(t)=0
-2y(t)+Dz(t)-3z(t)=0

(D-4)y(t)-2z(t)=0
-2y(t)+(D-3)z(t)=0

2(D-4)y(t)-4z(t)=0
-2(D-4)y(t)+(D-3)(D-4)z(t)=0

(D-3)(D-4)y(t)-2(D-3)z(t)=0
-4y(t)+2(D-3)z(t)=0

{(D-3)(D-4)-4}y(t)=0
(D^2-7D+8)y(t)=0
{(D-7/2)^2-49/4+32/4}y(t)=0
{D-(7+√17)/2}{D-(7-√17)/2}y(t)=0

y(t)=Ae^{t(7+√17)/2}+Be^{t(7-√17)/2}
y'(t)=A{(7+√17)/2}e^{t(7+√17)/2}+B{(7-√17)/2}e^{t(7-√17)/2}
4y(t)=4Ae^{t(7+√17)/2}+4Be^{t(7-√17)/2}
2z(t)=y'(t)-4y(t)={(-1+√17)/2}Ae^{t(7+√17)/2}+{(-1-√17)/2}Be^{t(7-√17)/2}
z(t)={(-1+√17)/4}Ae^{t(7+√17)/2}-{(1+√17)/4}Be^{t(7-√17)/2}

y(0)=2=A+B
z(0)=1={(-1+√17)/4}A+{(-1-√17)/4}B
2=A1+B1
4 =(-1+√17)A-(1+√17)B
2(1+√17)=(1+√17)A+(1+√17)B
2(3+√17)=(2√17)A
3+√17=(√17)A
(3+√17)/√17=A
1+3/√17=A
A=1+(3/√17)
B=2-A=1-(3/√17)

y(t)
={1+(3/√17)}e^{t(7+√17)/2}+{1-(3/√17)}e^{t(7-√17)/2}
={(17+3√17)/17}e^{t(7+√17)/2}+{(17-3√17)/17}e^{t(7-√17)/2}

z(t)
={(-1+√17)/4}{1+(3/√17)}e^{t(7+√17)/2}-{(1+√17)/4}{1-(3/√17)}e^{t(7-√17)/2}
={(-1+√17)(3+√17)/(4√17)}e^{t(7+√17)/2}-{(1+√17)(√17-3)/(4√17)}e^{t(7-√17)/2}
={(14+2√17)/(4√17)}e^{t(7+√17)/2}-{(14-2√17)/(4√17)}e^{t(7-√17)/2}
={(7+√17)/(2√17)}e^{t(7+√17)/2}-{(7-√17)/(2√17)}e^{t(7-√17)/2}
={(17+7√17)/34}e^{t(7+√17)/2}+{(17-7√17)/34}e^{t(7-√17)/2}

∴
y1(x)={(17+3√17)/17}e^{x(7+√17)/2}+{(17-3√17)/17}e^{x(7-√17)/2}
y2(x)={(17+7√17)/34}e^{x(7+√17)/2}+{(17-7√17)/34}e^{x(7-√17)/2}

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/16 16:43

「進まない」というのが「やる気がでない」というだけであるなら, そこで挫けたりせずがんばってくれ, としか言いようがない.

一方, 「進まない」が「どうしていいのかわからない」ということだとしたら「固有値はややこしいし結果として固有ベクトルも面倒な形になるけどそこには目をつむって手順通りにやってくれ」くらいかな.

ラプラス変換するのが楽... なのかなぁ.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/16 15:34

確かに固有値はややこしいし固有ベクトルも結果としてややこしい形になるけど「どうしても計算できなく」ってことはないんじゃない?

がんばって計算すればなんとかなると思うんだけど, 具体的にはどこまでできていてどこでなにに困っている?

この回答へのお礼

補足ですいません。
対角化まで求め終わっており、固有値を求め終わり、それに対する固有ベクトルを求めたところ√の値が出てきてしまい、その先から進まない感じです。

お礼日時：2022/12/16 15:53