初めて質問させていただきます。
よろしくお願いします。
下記の問題が頭から離れなくて困っています。
明確な回答がございましたら、回答願います。

「あるシステムに状態Aと状態Bの2つの状態が
あるとし、常にこの2つのいずれかの状態で
あるとする。

状態Aから状態Bに遷移する確率は70%
状態Aが状態Aのままである確率は30%

状態Bから状態Aに遷移する確率は40%
状態Bが状態Bのままである確率は60%

であるとすると、このシステムが状態Aで
ある確率はいくらか?」

友人に質問したところ、単純に、
「状態Aが状態Aのままである確率と、
状態Bから状態Aに遷移する確率の合計だから、
(40+30)/200 = 35%」だと言われましたが、
いまいちすっきりしません。

以上。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

以下のような考えはどうでしょう?


状態Aである確率をaとする。(状態Bである確率は1-a)
状態Aであることは、状態Aから確率30%でそのままであったことと、状態Bから確率40%で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、
0.3a+0.4(1-a)=a
これを解くとa=4/11
状態Bであることは、状態Bから確率60%でそのままであったことと、状態Aから確率70%で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、
0.7a+0.6(1-a)=1-a
これを解くとa=4/11
どちらも同じになった
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
すごくすっきりしました。

お礼日時:2005/04/14 11:39

遷移に必要な時間を1として、初期においてAである確率(割合?)をa(0),ある時間での確率をa(t),次の瞬間をa(t+1)で表すと



a(t+1)=0.3a(t)+0.4(1-a(t))
a(t+1)=-0.1a(t)+0.4
a(t+1)-4/11=-0.1(a(t)-4/11)
a(t+1)=(-0.1)^t*(a(0)-4/11)+4/11
lim(t→∞)a(t)=4/11

無限時間経過で4/11、#1さんや#3さんと同じになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
私の頭でぐるぐる回っていたことが
シンプルにまとまりました。

お礼日時:2005/04/14 11:40

ごめんなさい。



>Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn)

ではなく、Pn = 0.3Pn + 0.4(1-Pn)

でした。

回答は#3さんと同じになります。
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。
理解できました。

お礼日時:2005/04/14 11:37

少し、語弊がありましたので、補足します。



>時刻nにおけるシステムが状態Aである確率

時刻nにおいてシステムが状態Aである確率をPnとおくと、

>定常状態では、n=mなので、

定常状態では、Pn = Pm なので、
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状態Aである確率をPとすると、


状態Bである確率は1-P

時刻nにおけるシステムが状態Aである確率
Pn = 0.7Pm + 0.4(1-Pm) (ただし、m = n-1)

定常状態では、n=mなので、

Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn)より、

Pn = 4/7
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Q確率でグループ分け問題のコンビネーションの使い方について

15人をA組、B組、C組の各組5人ずつのグループに分ける時の場合の

数は、15C5・10C5通りですが、組の区別がない時は上記の数を3!で割

ると答えが求まります。

組み合わせのC(コンビネーション)はどういう特徴のためにA組B組のよ

うな、組の区別があるものしか答えが求められないのでしょか?

Aベストアンサー

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の1)、3)、5)を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、1)、3)のコンビネーションによって発生しているのではなく、2)、4)、5)の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって1)、3)、5)を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「1から9の数字から3つを順に選んで並べる」とすると、1つめの数字の選び方が9通り、2つめの選び方が8通り、3つめが7通りですから、順列は9×8×7。ですが、何か特別な条件をつけて、1つめの数字の選び方が5通り、2つめも5通り、3つめが4通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は5×5×4です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、1つ目の選び方が15C5通り、2つ目の選び方が10C5通りで、3つ目の選び方が1通りだから、順列は15C5 × 10C5 × 1 なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

QAがBに勝つ確率とBがCに勝つ確率からAがCの確率

AがBに勝つ確率と、BがCに勝つ確率から、AがCに勝つ確率が計算できますか?

A、Bの2人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします
B、Cの2人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします
この時、A、Cの2人で競走をした時、Aが勝つ確率は計算できますか?

A、B、Cの3人で競走をした時、それぞれが優勝する確率を計算しようとしたのですが
Aが優勝するのは、AがBに勝ち、かつ、AがCに勝つ
Bが優勝するのは、BがAに勝ち、かつ、BがCに勝つ
Cが優勝するのは、CがAに勝ち、かつ、CがBに勝つ

AがCに勝つ確率をXとすると
Aが優勝する確率は、2/3*X
Bが優勝する確率は、1/3*2/3=2/9
Cが優勝する確率は、(1-X)*1/3

2/3*X+(1-X)*1/3=7/9
X=4/3
となってしまいます
AがCに勝つ確率は133%って変ですよね
計算の仕方を間違えてますね

Cが優勝する時、Aに勝っているのに、Bには1/3の確率でしか勝てないってのは変だし…

Aベストアンサー

こんにちは。
きっと、こないだのイロレーティングの話から、こういう疑問がわいたのですね?

まず結論から言うと、数学の世界では、計算ができません。

ただイロレーティングの世界では、計算ができます。
なぜならレーティングでは、
A>B>C という序列が仮定されれば、
AがCに勝つ確率は 1/2 より大きくないと、均衡が崩れるからです。
だからウィキペディアのページには、
-------------------
3人の対局者A,B,Cについて
AがBに勝利する確率をEAB、
BがAに勝利する確率をEBA
などと定める。
対局者間の勝率について次のような「仮定」を置く。
EAC/ECA=(EAB・EBC)/(EBA・ECB) ・・・式1
-------------------
と書いてあって仮定という言葉が使ってあるのです。
現実社会ではこのような仮定が崩れることもしばしばありますね。
他の方がおっしゃるジャンケンも正にそうです。

ギャンブルには特に、この仮定が当てはまらないと思いますよ、私は全くやりませんけど。
競輪は特に、誰がどこの出身か、誰と誰が先輩後輩の関係か、という要素が重要と聞きます。
競馬でも、逃げ切りとかまくりとか、馬のタイプの相性、鞍上の騎手のうまさによって勝率はだいぶ変動するようですね。
「引退記念」レースともなればそれも無視できません。
サッカートトでも、ホームかアウェーか、緒戦で緊張しているか、といった要素が影響するでしょう。超天才と言われるホーキング博士が、「サッカーである国が勝つ方程式」 というのを発表していて、なかなかおもしろかったです。

実力に比例しそうなテニスの世界ですら、パワープレイヤーか、ラリープレイヤーかで相性が分かれますね。
ということは、将棋の世界でも、穴熊だの棒銀だの振り飛車だの、「クセ」による相性があるわけです。例え「どんな展開にも柔軟に対応できる」プロであろうとも。いわゆる「番狂わせ」が起きますね。


さて、式1はこう書き直せます。
EAB・EBC・ECA = EBA・ECB・EAC ・・・式2
分数がない方が人間にとって自然でしょう? (まあ確率自体が分数ですが)
一見ややこしいですけど、
左辺は AがB、BがC、CがA という順で循環ですし、
右辺は AB を BA に置き換えるなど、逆にしているだけです。

で、この式に
EAB=2/3
EBC=2/3
EAC=X
と、
EBA=1/3
ECB=1/3
ECA=1-X
を代入すると、
X=4/5
が得られます。

A、Bの2人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします。
B、Cの2人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします。
この時、A、Cの2人で競走をした時、Aが勝つ確率は
イロレーティング上、4/5と計算できます。
まあ、妥当な数字ですね、CがAに挑むのは、まだちょっと早い、という感じですね。
仮に勝てば、レーティングがかなり上がりますよ。

で、
AがBに勝ち、かつ、AがCに勝つ 8/15
BがAに勝ち、かつ、BがCに勝つ 2/9
CがAに勝ち、かつ、CがBに勝つ 1/15
です。
なぜ足して1にならないか。

重大な思い違いをしているのです。

2/3*X+(1-X)*1/3+2/9=1
も間違いです。

足して1になるのは、「考え得る全てのケースの確率」を足したときです(全事象)。
「Aが優勝する確率は」
と書いていますけど、
まあもちろん前提としては、「勝つか負けるかが必ず決まり、引き分けはない」ということでしょうけど、
3すくみになった場合に現実のリーグ戦のように「得失点差」で優勝者を決めたり、
今回の問題の場合特別に「勝率」で優勝者を決めたりするかどうか、
がまだ定められていません。

つまり、
「誰も優勝しない確率」 を計算から漏らしている
ということです!
AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがAに勝つ 4/45
AがCに勝ち、BがAに勝ち、CがBに勝つ 4/45
これも全て足して(互いに、同時に起こることはあり得ない)
初めて足して1になるのです。


AがCに勝つ確率が1をオーバーした一つの理由はですね、このような、
  3者いずれも1勝1敗 という確率も、AがCに勝つ確率の中に足し込んでしまったから
ですよ。

こんにちは。
きっと、こないだのイロレーティングの話から、こういう疑問がわいたのですね?

まず結論から言うと、数学の世界では、計算ができません。

ただイロレーティングの世界では、計算ができます。
なぜならレーティングでは、
A>B>C という序列が仮定されれば、
AがCに勝つ確率は 1/2 より大きくないと、均衡が崩れるからです。
だからウィキペディアのページには、
-------------------
3人の対局者A,B,Cについて
AがBに勝利する確率をEAB、
BがAに勝利する確率をEBA
などと定める。
...続きを読む

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

条件付き確率の問題です。

赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。

初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。

C(コンビネーション)を使ったやり方で解説されているのですが、なぜコンビネーションなのかわかりません(^_^;)

解答は8C1分の3C1となっています。

Aベストアンサー

どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

Q(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、 a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1 =a^2

(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、

a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1
=a^2+b^2−1

であっていますでしょうか?

Aベストアンサー

順番通りに機械的に計算するのがコツです。

左の a と 右の a, -b, +1 をかける。
左の b と 右の a, -b, +1 をかける。
左の -1 と 右の a, -b, +1 をかける。

これを 「a・aがあって、b・bがあって...」と考えながらやると、抜けが出てしまいます。

あとは、既に出ていますが X=a+b とすると、よく知られた公式だけで解くことができて簡単になります。

Q数A確率m個からn個を取り出す

こんにちは。

5個の玉(それぞれ1~5の数字が書かれています)があるとします。この中から同時に2個を選ぶ確率を教えてください。


すべての選び方は5C2通り、場合の数も5C2で、確率は1になってしまうんですが、そんなことないですよね・・・?
どこが違っていますか??

あと、5個の白玉から1個を無作為に選ぶときの確率を、上のようにコンビネーションを使って分数形で表すとどうなりますか?。(コンビネーションを使わないで表せば確率は、1/5になりますか?)


間違いを指摘して、正しい解答を教えていただきたいです。
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5個の玉から2個取り出す確率、と書くと条件がないため、確率は100%(どんな時も2個取れる)になります。

2個取り出す玉に条件をつけると確率は変化します。
例えば書いている数字の合計が5になる、1の玉が含まれる、取り出した合計が残ってる合計以上になる、などなど。

白玉1個を取り出す確率は5分の1ながら、こちらも明確な条件がなければ、結局はどれを引いても同じにしか見えません。1(5)分の1(5)となんら変わりのない結果となってしまいます。

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Q確率の問題で

確率の問題で「トランプ52枚から3枚引いて、そのうち2枚がハートの確率を求めよ」とあり、答えは
(13C2*39C1)/52C3=117/850ですが、
私は、
一回目ハート、2回目ハート、三回目その他=(13/52)*(12/51)*(39/50)
だと思いました。一回目がその他でも掛け算なので影響しないかと・・・
確率の問題のコンビネーションの使い方を教えてください。また私のような解き方で解く問題はどういったものでしょう?

Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
並び方を考えています。
1番、2番、3番がハート、ハート、その他に限定されると順列です。
入れ替えを許して
ハート、その他、ハート
その他、ハート、ハート
を同じものと考えると組み合わせとなります。

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (...
続きを読む

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

(1)得点が8点になる確率を求めよ。
(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

QA,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-

A,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-B|を証明したいのですが。

Aベストアンサー

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、
次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。


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