状態遷移の確率について

初めて質問させていただきます。
よろしくお願いします。
下記の問題が頭から離れなくて困っています。
明確な回答がございましたら、回答願います。

「あるシステムに状態Aと状態Bの2つの状態が
あるとし、常にこの2つのいずれかの状態で
あるとする。

状態Aから状態Bに遷移する確率は70％
状態Aが状態Aのままである確率は30％

状態Bから状態Aに遷移する確率は40％
状態Bが状態Bのままである確率は60％

であるとすると、このシステムが状態Aで
ある確率はいくらか？」

友人に質問したところ、単純に、
「状態Aが状態Aのままである確率と、
状態Bから状態Aに遷移する確率の合計だから、
(40+30)/200 = 35％」だと言われましたが、
いまいちすっきりしません。

以上。よろしくお願いします。

No.5 回答者： age_momo 回答日時： 2005/04/14 11:28

遷移に必要な時間を1として、初期においてAである確率(割合？）をa(0),ある時間での確率をa(t),次の瞬間をa(t+1)で表すと

a(t+1)=0.3a(t)+0.4(1-a(t))
a(t+1)=-0.1a(t)+0.4
a(t+1)-4/11=-0.1(a(t)-4/11)
a(t+1)=(-0.1)^t*(a(0)-4/11)+4/11
lim(t→∞)a(t)=4/11

無限時間経過で4/11、＃1さんや＃3さんと同じになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私の頭でぐるぐる回っていたことが
シンプルにまとまりました。

お礼日時：2005/04/14 11:40

No.4 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/14 11:08

ごめんなさい。

＞Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn)

ではなく、Pn = 0.3Pn + 0.4(1-Pn)

でした。

回答は＃３さんと同じになります。

この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。
理解できました。

お礼日時：2005/04/14 11:37

No.3 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2005/04/14 11:01

以下のような考えはどうでしょう？

状態Aである確率をaとする。（状態Bである確率は1-a)
状態Aであることは、状態Aから確率30％でそのままであったことと、状態Bから確率40％で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、
0.3a+0.4(1-a)=a
これを解くとa=4/11
状態Bであることは、状態Bから確率60％でそのままであったことと、状態Aから確率70％で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、
0.7a+0.6(1-a)=1-a
これを解くとa=4/11
どちらも同じになった

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すごくすっきりしました。

お礼日時：2005/04/14 11:39

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/14 10:57

少し、語弊がありましたので、補足します。

＞時刻nにおけるシステムが状態Aである確率

時刻nにおいてシステムが状態Aである確率をPnとおくと、

＞定常状態では、n=mなので、

定常状態では、Pn = Pm なので、

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/14 10:53

状態Aである確率をPとすると、

状態Bである確率は1-P

時刻nにおけるシステムが状態Aである確率
Pn = 0.7Pm + 0.4(1-Pm) (ただし、m = n-1)

定常状態では、n=mなので、

Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn)より、

Pn = 4/7