2次関数y=f(x)=−x^2＋2ax＋1(−1≦x≦1)の最大値を求めよ。 参考書は a<-1 -

2次関数y=f(x)=−x^2＋2ax＋1(−1≦x≦1)の最大値を求めよ。

参考書は

a<-1
-1≦a<1
1≦a

の3通りでしたが

①なぜ定義域より小さいa<-1を求めないといけない？
②3通りなんてめんどくさいことせず

-1≦a≦1にして「x＝a」にして終わりで良くないですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/06 20:54

y=f(x)=-x^2+2ax+1(-1≦x≦1)

f(x)=1+a^2-(x-a)^2

定義域
-1≦x≦1
はxの定義域であってaの定義域ではありません
だからaの値は定義域には関係ありません

a<-1 のとき
f(x)の最大値は
x=-1　のとき
f(-1)=-2a
が
f(x)の(-1≦x≦1)での
最大値になります

x=-1 は定義域(-1≦x≦1)の中に入っています

No.2 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/06 20:51

① 定義域より小さいa<-1を求めるのは、二次関数のグラフにおいて、関数の変形や形状によって最大値・最小値が変化するためです。

このため、aの取りうる範囲全てについて最大値を求め、最大値がどのaで最大となるかを確認することが必要です。

② a=-1≦a≦1 の範囲に限定することでも、2次関数のグラフがどのような形状をしているかわかりますが、正確な最大値が求まらない可能性があります。正確な最大値を求めるためには、a<-1、-1≦a<1、1≦a の3通りすべてについて計算を行うことが必要です。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/02/06 20:44

定義域は、xについてであり、aについてではありません。

「x＝a」では、aも変数になってしまいます。