数学的帰納法について質問があります。

数学的帰納法というのは、

① 最初が成り立つ
② 一個前が成り立てば、次のも成り立つ

この①と②が同時に言えれば、

最初が成り立てば次のもの成り立つ。次のも成り立てば、その次のも成り立つ。更に・・・
で最終的に全てのことについて成り立つ。

というものですよね？
気になるのは②です。

実際に示すのは「次のも成り立つ」の部分ですが、この時、「一個前が成り立ば」の部分は仮定の話で
実際には一個前が成り立っているかどうかは示さないじゃないですか。
じゃあ一個前が成り立っていなかったらどうするんですか？
一個前が成り立っていないのに、次のは成り立っている場合、論理がおかしくなるじゃないですか。
一個前が成り立っていることも仮定じゃなくて、ちゃんと示さないといけないのではないのですか？

（以下、独り言）
あれかなー、n=k+1が成り立つというのは、n=kが成り立っていることが前提なので、
n=kが成り立っていないなら、n=k+1も成り立たず、結果的にその命題に関しては
数学的帰納法は使えないということかな。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/06 16:11

Σ_{k=1～n}k=n(n+1)/2

の数学的帰納法による証明

P(n)=[Σ_{k=1～n}k=n(n+1)/2]
とする

P(1)=[Σ_{k=1～1}k=1=1(1+1)/2]
が成り立つ

ある自然数nに対してP(n)が成り立つと仮定すると

Σ_{k=1～n}k=n(n+1)/2
↓両辺にn+1を加えると

Σ_{k=1～n+1}k=n+1+n(n+1)/2
Σ_{k=1～n+1}k=(n+1)(n+2)/2
だから

P(n+1)=[Σ_{k=1～n+1}k=(n+1)(n+2)/2]
が成り立つ
から

すべての自然数nに対して
Σ_{k=1～n}k=n(n+1)/2
が成り立つ

No.7 回答者： ぐるぬいゆ 回答日時： 2023/04/06 08:33

＞一個前が成り立っていなかったらどうする

どうもしません。ただ仮定しているだけですから、成り立っている場合しか考慮に入れません。
＞一個前が成り立っていないのに、次のは成り立っている場合、論理がおかしくなる
なりますけど、なんとしても成り立っている場合しか考えないからいいのです。

実際には
＞
① 最初が成り立つ
② 一個前が成り立てば、次のも成り立つ

過程において、最初が成り立っていることを照明できているから、その次もそれを過程でなく事実として使えるわけだから、2番目も成り立っていることが証明でき、そうすると3番目4番目・・・・・ｎ番目・・・・・・・・∞番目すべて成り立つという将棋倒しの理論になります。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/06 08:28

①n=1で成り立つ(最初が1で無くても良いが・・・)

②n=kで成り立つならn=k+1で成り立つ

組み合わせれば

n=1で成り立つ。
n=1で成り立つならn=2で成り立つ
n=2で成り立つならn=3で成り立つ
これを無限に続けられるから
nが1以上の全ての整数で成り立っ。

簡単明瞭だと思う。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/06 06:46

数学的帰納法自体は、正しいとか理屈が通るとか

そういうもんではなくて、単に自然数の定義の一部です。
その是非を問うてもしかたがない。
すなおに成り立つもんだと思って使うか、
世の中の他人とは定義の違う自然数を使うことを覚悟するか...
どちらかを選ばなければなりません。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/06 04:15

数学的帰納法というのは、

①P(1)が成り立つ
②ある自然数nに対して,P(n)が成り立てば,P(n+1)も成り立つ

この①と②が同時に言えれば、

「
最初が成り立てば次のもの成り立つ
」
ではありません

最初が成り立つというのは仮定の話ではありません

最初が成り立つことは①で示さなければなりませんし
最初が成り立つことは①で示されているのです

だから
最初
P(1)が成り立つから
↓
P(2)が成り立つ
↓
P(3)が成り立つ
↓
…
となって
全ての自然数nに対してP(n)が成り立つのです

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/06 01:26

そもそも「一個前が成り立っていなかった」なら「全てのことについて成り立つ」ことはありえないと思うのだよ.

「一個前が成り立っていること」は, 究極的には
① 最初が成り立つ
で保証される. 「最初」「一個前」「次の」と言葉でてきとうに書いているから混乱してるのかもよ. ちゃんと数字で書いてみたらどうだろうか.

No.2 回答者： puyo3155 回答日時： 2023/04/06 00:20

>実際には一個前が成り立っているかどうかは示さないじゃないですか。

じゃあ一個前が成り立っていなかったらどうするんですか？

一個前が成り立てば、次も成り立つ。
一個前が成り立たなければ、次が成り立つかどうかはわからない。

ってだけでのことです。いまいち疑問が理解できませんが・・・・

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2023/04/05 23:48

数学的帰納法が要求している事は「kが成り立てばk+1も成り立つ」と言う事ですから、kが成り立たなければk+1も成り立たない事になると言うだけの単純な話です。

そして数学的帰納法の出発点である「n=aの時に成り立つ」と言う事が示されているわけですから「n=kの時に成り立てばn=k+1の時にも成り立つ」が正しいとすれば「n=kの時に成り立つ」も示された事になります。