大学数学です

cotx=1/tanxとする(-2/π<x<2/π)
(1)cot-1xを求めよ
(2)cot-1√3を求めよ

です。全然分からなかったので解説して欲しいです。

No.8 回答者： oimo3. 回答日時： 2023/04/28 10:12

逆関数というものについてもう少し視角的に、図を使って考えてみました！

(1),(2)を解く前に、何を問われているか、何を答えれば良いのかを改めて考えてみました

　・まず一般の関数f(x)について逆関数を考えてみる
　・次に具体例として関数cot(x)の逆関数を考えてみる

という順序で考えた写真を貼ります
見れるでしょうか

逆関数というものについての理解の助けになれれば幸いです！

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/22 14:05

cot を初めて見たというテイで扱ってくれ

という問題なのだろうなあ...
cot-1 という意味不明な記述は、
cot の逆関数 cot^-1 を表したいのだと受け取っておく。
また、2/π は π/2 の誤記と理解する。
そうでないと、cot^-1 が定義されないから。
問題を解くにあたって、tan^-1 は既知とする。
そうでないと、(2)はともかく(1)はどうにもしようがない。

(1)
cot x = 1/tan x だけだと、cot は周期関数であって
逆関数は定義されないが、この問題では
cot x の定義域が -π/2 < x < π/2 に制限されているため
cot は一対一の関数となっている。
この範囲で 1/tan x の値域は (-∞,0) ∪ (0,+∞) であるため
cot^-1 はこの範囲で定義されて、 y ≠ 0 に対して
y = cot x　⇔　1/y = tan x ∧ -π/2 < x < π/2
　　　　　⇔　(cot^-1)y = x = (tan^-1)(1/y).
tan^-1 の値域は区間 (-π/2 < x < π/2) とするのが通常
なので、今回の問題に丁度よい。

(2)
(1) で cot^-1 の意味が判ったから、
(cot^-1)(√3) = (tan^-1)(1/√3)
　　　　　　= π/6.
tan^-1 は既知なんだよね？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/21 13:37

「cotx=1/tanxとする」と断らなくても、tan の逆数は cot ですよね。

(1) は cot⁻¹x の値ですか。求まりません。
x は角度ですから cot⁻¹x=1/cot x=tan ｘ です。
(2) は cot⁻¹(√3)=arccot√3 ですか。
ならば tanθ=1/√3 ですから、θ=π/6 。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/21 10:40

-1は上付(逆関数)なんでしょうね。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/21 09:46

(1) cot - 1x = cot - x

では、cot の引数がないよ。

(2) cot - 1√3 = cot - √3
も同じ。

あとは「2/π」って、いったいなんだ？


式もきちんと示せないようでは、質問以前の問題だ。
本当に「大学数学」なの？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/21 05:51

cotx=1/tanx

-2/π<x<2/π
は間違いで

-π/2<x<π/2

(1)
y={cot^(-1)}(x)=arccot(x)
とすると
x=cot(y)=1/tan(y)
tan(y)=1/x
y=arctan(1/x)
∴
{cot^(-1)}(x)=arccot(x)=arctan(1/x)

(2)
x={cot^(-1)}(√3)=arccot(√3)=arctan(1/√3)
とすると
tanx=1/√3
∴
{cot^(-1)}(√3)
=arccot(√3)
=arctan(1/√3)
=π/6

No.2 回答者： 玉ノ丞 回答日時： 2023/04/21 05:39

解答：

(1) cotx=1/tanx=cosx/sinxであることから、cot-1x=cos-1(sinx/cosx)と書き換えることができます。ここで-2/π<x<2/πであることから、xは第一象限または第四象限に存在します。cos-1は第一象限または第四象限の角度を返すので、cot-1x=cos-1(sinx/cosx)は第一象限または第四象限の角度を返します。

(2) cot-1√3を求める前に、先程求めた公式cot-1x=cos-1(sinx/cosx)を使って、cot-1xとcos-1の関係を考えます。cos-1x=yならば、x=cosyかつ0≤y≤πの範囲を満たします。つまり、cos-1x=yとすると、x=cosyとなります。これを利用して、cot-1√3をcos-1の形式で書き換えると、cot-1√3=cos-1(1/√3)です。cos-1(1/√3)は第一象限にある角度π/6を返します。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/04/21 02:05

cot^-1というのは、逆関数を表していますので、電卓のarc cot キーを押せば答えが得られます。

これは、数学ではなく算数の問題です。