A 回答 (11件中1~10件)
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No.4
- 回答日時:
これは、日本ではコンプガチャ問題、欧米ではクーポンコレクター問題として知られている問題です。
つまり、n種のアイテムがあって、それらが同一確率で出現するとき、ガチャを何個購入すれば、全てのアイテムをコンプリートできるか、その期待値を求めよ、という問題です。
まず、この前提となるのが、幾何分布です。
確率pの不良品があるとき、1個ずつ検査をしていくと何個目で不良が発見できるか、その期待値は?という問題ですが、期待値は1/pです。確率の逆数です。
p=0.1なら、平均10個調べれば、不良を発見できます。
では、ガチャではどうなるでしょう。
最初の1アイテム目は、出現確率は1/nですが、それはn種類中どれでも良いので、
確率は、n×1/n=n/n、その逆数は1、つまり1回目で100%何か出てきます。
次の2アイテム目は、得たいアイテムは(nー1)種類に減ります。
確率は、(nー1)×1/n=(n-1)/n、その逆数はn/(n-1)、
2アイテム目が出るまで、平均n/(n-1)個購入する必要があります。
よって、ガチャをコンプリートするまでの購入数の期待値は、
(期待値)=n/n+n/(n-1)+n/n(n-2)+・・・+n/1
となります。
詳しくは「クーポンコレクター問題」で検索してみて下さい。
この確率質量を、第二種スターリング数で漸化式化したものを見ることができると思います。おっしゃるように、そんな単純な話ではないです。
ちなみに、
40アイテムあれば、171個も購入しなければ集まりませんし、
365日の誕生日が揃うには、2364.6人集める必要があります。
No.5
- 回答日時:
#4です。
もうひとつ、重要なことを述べるのを忘れていました。
ある子供が40アイテム揃えるには平均171個購入しないといけないですが、
でも、そのような子供が多数いると、半数の子供は162個目でコンプリートしています。
ここが、単純な問題ではない、と言われるゆえんで、個人の視点と、集団の視点で答が違うのです。
この162個目という数を出すのに、第二種スターリング数を用いた漸化式が必要となります。
面白いですよね。
No.7
- 回答日時:
以前、この問題を計算したことがあったので紹介します。
添付のグラフは、40アイテムのコンプガチャのケースです。
横軸が購入数、縦軸はコンプリート出来た人の発生数です。シミュレーションではなく厳密計算した結果です。
だいたい横軸80個あたりからコンプリート達成者が現れ、150個の手前あたりで最頻値(僕も私も!)となります。
縦線が引いてある箇所が中央値で、半数の子供がコンプリート達成する162個です。
150個手前でみんなが騒ぎ出すんです。じゃあ、171個という計算上の期待値はなんだったんか!ということになります。
お断り、
グラフが170個より右側が無いのは、コンピュータの浮動小数点演算がオーバーフローして計算できなかったからです。(私のアルゴリム能力不足)
No.9
- 回答日時:
#4です。
タイプミスを修正させて下さい。スミマセンでした。誤)(期待値)=n/n+n/(n-1)+n/n(n-2)+・・・+n/1
正)(期待値)=n/n+n/(n-1)+n/(n-2)+・・・+n/1
No.10
- 回答日時:
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