誤差計算について (10±1)+[(6.0±0.2)×(3.0±0.2)] (10±1)/[(2.0

誤差計算について

(10±1)+[(6.0±0.2)×(3.0±0.2)]

(10±1)/[(2.0±0.1)-(1.0±0.1)]

この問題は
上　28±1

下　10±0.1


で合ってますか？有効数字もいい感じに

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/27 07:55

足しても引いても、掛けても割っても、誤差は一方的に積み上がっていくので、検算するまでもなく、ご質問者の答が間違っていることは、すぐ分かります。

上は誤差が増えていないし、
下は小さくなっていますからね。

あり得ないです。

てか、これまでyhr2さんはじめ多数の回答者が誤差伝搬の公式を示してきましたが、それを読んで理解されていないのでしょうか。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/27 00:43

No.3 です。

微分を使わないでやりたいのであれば、#3 のリンク先のサイトに載っている「加減乗除などの計算に伴う誤差の伝播」に従って計算すればよいです。
基本は「計算の順序に沿って誤差を積み上げていく」ということになります。

上の式であれば
・まず「かけ算」の誤差を求め
　(6.0 ± 0.2) × (3.0 ± 0.2)
= 6.0(1 ± 0.2/6) × 3.0(1 ± 0.2/3)
= 6.0 × 3.0{1 ± √[(0.2/6)^2 + (0.2/3)^2] }
= 18{1 ± 0.074535599･･･}
≒ 18 ± 1.34164

・次に、これを使った「足し算」の誤差を求めて
　(10 ± 1) + (18 ± 1.34164)
= 10 + 18 ± √(1^2 + 1.34164^2)
= 28 ± 1.6733･･･
≒ 28 ± 1.7


下の式も同様に
・まず分母の「引き算」の誤差を求め
　(2.0 ± 0.1) - (1.0 ± 0.1)
= 2.0 - 1.0 ± √(0.1^2 + 0.1^2)
= 1.0 ± √0.02　　　　　　←ルートのままなのは、どうせ後で2乗するから

・次に、これを使った「割り算」の誤差を求めて
　(10 ± 1)/(1.0 ± √0.02)
= 10(1 ± 0.1)/(1.0 ± √0.02)
= (10/1.0){1 ± √[0.1^2 + (√0.02)^2] }
= 10(1 ± √0.03)
= 10 ± 1.7320508･･･
≒ 10 ± 1.7

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/26 23:32

#2です。

微分は面倒だなあ、と思ったら、積・商の誤差は相対誤差で計算できることを覚えておくと良いです。

添付図は社内テキストからの抜粋した計算事例です。枠内は王道のやり方。でも、左下の式に注目して下さいな。これでも良いのです。

なお、足しても引いても、掛けても割っても、誤差は一方的に積み上がっていくことは忘れないようにして下さいませ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/26 23:10

誤差伝播の考え方は、下記などを参考に。

↓
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …

上は
　u = x + yz
という計算で、全体の誤差は
　Δu = √{[(∂u/∂x)Δx]^2 + [(∂u/∂y)Δy]^2 + [(∂u/∂z)Δz]^2}
ここで
　∂u/∂x = 1
　∂u/∂y = z
　∂u/∂z = y
であり、そこに
　x=10, y=6.0, z=3.0
　Δx=1, Δy=0.2, Δz=0.2
を代入して
　Δu = √{(1･1)^2 + (3.0･0.2)^2 + (6.0･0.2)^2}
　　= √{1 + 0.36 + 1.44}
　　= 1.6733･･･
　　≒ 1.7


下も
　w = x/(y - z)
という計算で、全体の誤差は
　Δu = √{[(∂u/∂x)Δx]^2 + [(∂u/∂y)Δy]^2 + [(∂u/∂z)Δz]^2}
ここで
　∂u/∂x = 1/(y - z)
　∂u/∂y = -x/(y - z)^2
　∂u/∂z = x/(y - z)^2
であり、そこに
　x=10, y=2.0, z=1.0
　Δx=1, Δy=0.1, Δz=0.1
を代入して
　Δu = √{(1･1)^2 + [-10･0.1]^2 + [10･0.1]^2}
　　= √{1 + 1 + 1}
　　= √3
　　= 1.73205･･･
　　≒ 1.7

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/26 23:06

誤差の積み上げは、各項が独立であれば、

和・差は、全体の誤差は絶対誤差の２乗和の積み上げの平方根。
積・商は、全体の相対誤差は個々の相対誤差の２乗和の積み上げの平方根。

単純累積公差になるのは、同じ板材を積層したような場合のみ。

単純累積でやっておけば安全側になるので、それでも良いですが、工学部で出された問題なら、キチンとやりましょう。

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/26 19:10

違うと思うけど・・・・

上
(10-1)+(6.0-0.2)×(3.0-0.2) ～ (10+1)+(6.0+0.2)×(3.0+0.2)
25.24 ～ 30.84

下
略