f(x)=xlog(x+1)について解いてほしいです。 自然数nに対して、Σ[k=1→2n+1] f

f(x)=xlog(x+1)について解いてほしいです。

自然数nに対して、Σ[k=1→2n+1] f^(k)(0)を求めよ。
f^(k)は微分のことです。

この問題教えてほしいです。

計算すると、
f'(0)=0、f"(0)=2、f^(3)(0)=-3、f^(4)(0)=8となり、
規則性が分からなかったので、教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/11 05:59

図の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/11 10:24

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/11 01:37

f^(k)(0)を具体的に知ってからその総和を取る、という方針ですね。

まず、log(x + 1)のテイラー展開はよく知られているとおり
　　log(x + 1) = - Σ[j=1→∞] (((-1)^j)/j)(x^j)
である。だから f(x)のテイラー展開はそのx倍。
　　f(x) = - Σ[j=1→∞] (((-1)^j)/j)(x^(j+1))
　f^(k)(x)はこの級数をk回微分したもので、そうするとこの級数の項のうちxの(k-1)次以下の項は全部0になる。さらに、f^(k)(0)はxに0を代入したものなので、この級数の項のうちxの(k+1)次以上の項も全部0になる。つまり残るのは「この級数の項のうちxのk次の項をk回微分したもの」という定数だけ。もちろん
　　(x^k)をk回微分したもの = k!
　だから、「f(x)のテイラー展開の(x^k)の項の係数」にk!を掛け算したのが、f^(k)(0)だということ。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/11 10:24

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/10 21:57

規則性が分からない理由は、イキナリ0を代入してしまうから。

n=1の時
f⁽¹⁾(x)=log(x+1)+(x/(x+1))

n≧2の時
f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ⁻²×{ (n-2)!・(x+1)⁻ⁿ⁺¹+(n-1)!・(x+1)⁻ⁿ }

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/11 10:24