複素数 複素平面の図形処理

以下の問題の解き方を教えて下さい。
(1)A=3+2i である正三角形ABCの重心Gについて、G=5+4iの時、B,Cの値を求めよ
(2)正三角形ABCについて、A=α、B=β、C=γで表現する時、α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0を示せ

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/03 22:38

(1)

B=b1+b2*i,C=c1+c2*i
(b1,b2,c1.c2は実数)
とおけば
G=(A+B+C)/3=(3+b1+c1)/3+i*(2+b2+c2)/3=5+4i
これから
　(3+b1+c1)/3=5,(2+b2+c2)/3=4
整理すると
　b1+c1=12 ...(A-1) , b2+c2=10 ...(A-2)
AB=AC=BCより　|B-A|=|C-A|=|C-B|なので
　(b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
２つの式に書き換えると
　(b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
　(c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
整理すると
　13-6b1-4b2=c1^2+c2^2-2b1c1-2b2c2 ...(B)
　13-6c1-4c2=b1^2+b2^2-2b1c1-2b2c2 ...(C)
(B)+(C)に(A-1),(A-2)を代入
　26-6*12-4*10=(b1+c1)^2+(b2+C2)^2-6b1c1-6b2c2
　　　　　　　=12^2+10^2-6(b1c1+b2c2)
整理して
　b1c1+b2c2=55 ...(D)
(B)に代入して
　13-6b1-4b2=c1^2+c2^2-2*55
整理して
　6b1+4b2+c1^2+c2^2=123 ...(E)
(A-1),(A-2),(D),(E)の連立方程式を解くと
(b1,b2,c1,c2)=(6+√3,5-√3,6-√3,5+√3),
　　(6-√3,5+√3,6+√3,5-√3)
すなわち
B=6+√3+(5-√3)i,C=6-√3+(5+√3)i
またはB,Cを入れ替えた
B=6-√3+(5+√3)i,C=6+√3+(5-√3)i
となります。

(2)
A=α=3+2iと(1)の結果から
β+γ=12+10i,βγ=(6+5i)^2-3(1-i)^2=11(1+6i)なので
α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα
=α^2-α(β+γ)+(β+γ)^2-3βγ
=(3+2i)^2-(3+2i)*(12+10i)+(12+10i)^2-33(1+6i)
= …
=0

No.2 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/03 22:08

＞オイラーの公式が分かってないと解けない問題には

＞思えませんが…

いや、そうしないと解けないなんて言っていませんよ。
せっかく複素数なので指数関数が楽でいいのかなと思った
のですが使いたくないなら、例えば、

・|AG|を計算して1辺の長さがL=2|AG|cos(π/6)だから
　|AB|=|BC|=|CA|=LとしてBやCの座標を求める
・AGをGの向きに延長してADの長さがAGの3/2倍になる
　ようにDを置き、Dを通りAGに垂直な直線上のB,Cで、
　ABとACの角度がπ/3になるようにする
・回転の一次変換を使う（実質的に#1と同じ）
・エトセトラ（たぶん他にもたくさんやり方がある）

＞そして、この後の計算ができずに困っています。

どこで躓いているのでしょう？

(2)#1に書いたのは(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-α)^2を
展開すると与式の2倍になっていることを使うためです。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/03 17:02

(1)対称性からC-A=(B-A)e^(πi/3)としてよい。

G=(A+B+C)/3
と合わせて連立方程式とみて解きます。
計算はご自分でどうぞ。

(2)β-γ=-(α-β)e^(-πi/3)
γ-α=-(α-β)e^(πi/3)
としてよい。
この後は明らかなので省略。

この回答への補足

オイラーの公式が分かってないと解けない問題には思えませんが…
そして、この後の計算ができずに困っています。

(正確に言うと、(2)は、「三角が全て等しい」「三辺が全て等しい」時、
α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=-1/2(α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα)となることから、α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0を導きましたが、
計算式が長すぎて困っています。また、解の係数の関係を使う方法もありますが、これは普段の問題を解く時の考えから外れているので、除外して考えたいです。)

補足日時：2013/08/03 20:11