三角関数の最大値・最小値について教えてください

０≦θ＜２πのとき、次の関数の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。
(１)y=sinθ-cosθ
(２)y=3sinθ+√3cosθ

という問題なのですが、参考書を見ても解き方がわかりません。。
数学が苦手なので詳しく教えていただけるとうれしいです。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/30 18:05

手順を説明すると、

・Θで微分する
・上記の微分＝０となるｓｉｎΘ，ｃｏｓΘの値を求める
・微分＝０となるときがｙの最大値、最小値の候補になるので、元の式にｓｉｎΘ，ｃｏｓΘの値を代入して値を比較する
となります。


（１）Θで微分して
ｄｙ／ｄΘ＝ｃｏｓΘ＋ｓｉｎΘ
これを０とおくとｓｉｎΘ＝－ｃｏｓΘ　・・・（あ）
一方、ｓｉｎ＾２Θ＋ｃｏｓ＾２Θ＝１なのでこれに（あ）を代入すると
２ｃｏｓ＾２Θ＝１　より　ｃｏｓΘ＝±√２／２、ｓｉｎΘ＝±√２／２　（復号は逆順）
ｃｏｓΘ、ｓｉｎΘがこれらの値をとるときｙは最大、あるいは最小になるので値を代入すると、
最大値はｃｏｓΘ＝√２／２のときでｙ＝√２、その時のΘはπ／４、７π／４
同じく最小値はｃｏｓΘ＝－√２／２の時でｙ＝－√２、その時のΘは３π／４、５π／４

（２）（１）と同じくΘで微分して
ｄｙ／ｄΘ＝３ｃｏｓΘ－√３ｓｉｎΘ
これを０とおくとｓｉｎΘ＝√３ｃｏｓΘ　・・・（い）
一方、ｓｉｎ＾２Θ＋ｃｏｓ＾２Θ＝１なのでこれに（い）を代入すると
４ｃｏｓ＾２Θ＝１　より　ｃｏｓΘ＝±１／２、ｓｉｎΘ＝±√３／２　（復号は同順）
ｃｏｓΘ、ｓｉｎΘがこれらの値をとるときｙは最大、あるいは最小になるので値を代入すると、
ｃｏｓΘ＝１／２のとき　ｙ＝２√３で最大、その時のΘはπ／３、５π／３
ｃｏｓΘ＝－１／２のときｙ＝－２√３で最小、その時のΘは２π／３、４π／３

No.1 回答者： f272 回答日時： 2011/01/30 17:54

三角関数の合成公式を使って

(1)
y=sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4)
(2)
y=3sinθ+√3cosθ=2√3sin(θ+π/6)

と変形すれば簡単だろう。(1)ならθ-π/4=π/2のときに最大で，θ-π/4=3π/2のときに最小になる。