微分方程式

微分方程式を解いたが解いたときの解が微分方程式に当てはまらないというのはあり得るんでしょうか

質問者からの補足コメント

• 

  zを3回積分するのも忘れてませんし、積分定数も忘れていません

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/20 12:15

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/20 14:53

←補足

その積分定数が多すぎるんじゃないかな？

y= dy/dx - x^2/2　ですね。　←[1]
z = dz/dx の一般解は z = Ae^x (Aは定数) です。
(d/dx)^3 y = z = Ae^x を 3回積分して
y = Ae^x + Bx^2 + Cx + D (B,C,Dも定数) となります。　←[2]

方程式を微分して z の微分方程式にした時点で
条件が必要条件になってしまっていますから、
A,B,C,D は任意定数ではなく、
最初の微分方程式を満たすためには制限がつきます。
[2]を[1]へ代入すると
Ae^x + Bx^2 + Cx + D = Ae^x + 2Bx + C - x^2/2 となって、
これが恒等式であるように
B = -1/2, C = 2B, D = C でないといけません。

よって、
y = Ae^x - (1/2)x^2 - x - 1.　←[3]
[3]を[1]へ代入してみると、ちゃんと成り立っています。

「恒等式を微分したら十分性は失われる」という呪文を覚えておきましょう。

この回答へのお礼

なるほど。

お礼日時：2019/05/20 16:40

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/20 00:25

「解が微分方程式に当てはまらない」とはどういうことでしょうか? 「当てはまる」がどのような意味なのかわかりません.

この回答へのお礼

満たすという意味です
満たさない方程式を見つけました

お礼日時：2019/05/20 12:15

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/19 13:53

それは、解いたときに何かミスしてるんですよ。

具体例は？

この回答へのお礼

たとえばy=dy/dx-x^2/2ですね
xについて三階微分して,d^3y/dx^3=z(x)と置き,
z(x)=dz(x)/xとなるので
z=ae^bxと置いたりして解いた値が微分方程式に当てはまらないんですよ

お礼日時：2019/05/20 12:14