条件 {x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 のもとで f(x,y)=x^2+y^2 の最大値、最小値とそれらを与える(x,y)を全て求めなさい。
という問題です。私はラグランジュの乗数法を使いました。
以下、私の解答です。
φ(x,y)={x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 とおく。このとき、
∂φ/∂x={x^(-1/3)}/6=0 …(1)
∂φ/∂y=2{y^(-1/3)}/3=0 …(2)
とすると、(1)よりx=0、(2)よりy=0である。しかし、
φ(0,0)=-1≠0
である。よって、φ=∂φ/∂x=∂φ/∂y=0を満たす(x,y)は存在しない。
F(x,y,λ)=x^2+y^2-λ[{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1] とおく。このとき、
∂F/∂x=2x-λ{x^(-1/3)}/6=0 …(3)
∂F/∂y=2y-λ2{y^(-1/3)}/3=0 …(4)
∂F/∂λ=-{x^(2/3)}/4-y^(2/3)+1=0 …(5)
(3)より、λ=12x^(4/3)
これを(4)に代入して、
y^(4/3)=4x^(4/3)
ここで、t=x^(2/3)、s=y^(2/3) とおく。(s,t≧0) すると、
t=±2s
s,t≧0より、t=2s
また、
(5)⇔s+4t-4=0
これにt=2sを代入して、
s=4/9⇔x^(2/3)=4/9 ∴x=±8/27
t=8/9⇔y^(2/3)=8/9 ∴y=±(16√2)/27
と、ここまで計算しましたが、この(x,y)をf(x,y)に代入しても、
f(x,y)=x^2+y^2
であるので、最小値も最大値も出ません。
どこかで計算ミスがあるのでしょうか、もしくは置き換えのまずいところがあったのでしょうか。
どなたかわかる方、よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
x^(2/3)/4 + y^(2/3) - 1 = 0
という条件があるので、fは、もはや、変数が1個の関数です。
y^(2/3) = 1 - x^(2/3)/4
y = (1 - x^(2/3)/4)^(3/2)
これをfの式に代入して、
f(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (1 - x^(2/3)/4)^3
df/dx = 0
で極大極小の場所を求め、そのときの d^2f/dx^2 の符号を調べれば、
答えは出ます。
ご参考になりましたら幸いです。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
再びお邪魔します。
一応、手元で計算してみました。
まず、x^(2/3) = z すると、x≧0でxはzの増加関数。
よって、
df/dx=0 という条件は、 df/dz と同じ条件。
(f(x)=) x^2 + (1 - x^(2/3)/4)^3
= z^3 + (1 - z/4)^3
= z^3 + 1 - 3/4・z + 3/16・z^2 + 1/64・z^3
= (63z^3 + 12z^2 - 48z + 64)/64
df/dz = (189z^2 + 24z - 48)/64
= 3/64・(63z^2 + 8z - 16)
よって、極大極小の条件である、df/dz = 0 は、
z = 1/(2・63)・{-8 ± √(64 + 4・63・16)}
= 1/63・(-4 ± 32)
z=28/63=4/9 または z=-36/63=-4/7
x^(2/3)=4/9 または x^(2/3)=-4/7
と出ました。
x^(2/3)=4/9 のほうは、x=8/27 ですね。
x^(2/3) ≧ 0 でしょうから、x^(2/3)=-4/7 は除外されます。
そして、前回書き落としましたが、
x^(2/3)/4 + y^(2/3) - 1 = 0
という式で、x≧0、y≧0 から条件(変域)が出てきますので、
それも考えないといけないと思います。
たぶん、変域の端っこで、fの最大値や最小値になる場合があると思います。
ご回答ありがとうございます!
f(x,y)をxのみの関数(=g(x)=x^2+(1-{x^(2/3)}/4)^3にした後、微分し、増減表で極大、極小を確認しました。
x=0で極大値1、x=8/27で極小値(=最小値)64/81でした。
しかし、最大値を求めるときに、lim[x→∞]g(x)が
必要ですよね?
悪いことに、上の極限が求められません…。
No.4
- 回答日時:
計算は面倒そうだが、高校数学のlevel。
面倒な計算は苦手だから、方針だけ。(3)√x=α、(3)√y=β とすると、(α^2/4)+β^2=1の時、α^6+β^6 の最大値・最小値を求める問題。
ちよつと、次数が大きいから、小さくしてやろう。
α^2=a、β^2=bとすると、a+4b=4 (a≧0、b≧0)の時、a^3+b^3の最大値・最小値を求めると良い。
aを消去して、bの3次関数にして、微分。 但し、1≧b≧0 の範囲で。
No.5
- 回答日時:
どこにミスがあるかと言うと、
(1) (2) が x=0 や y=0 では成立しない
(微分可能でない)ことを考慮しなかったこと。
よってラグランジュ法は
x≠0 かつ y≠0 の範囲でしか適用できない。
質問文中の計算は、たぶん
x^2 + y^2 の極小値を正しく求めている
のだろうが(山勘)、
境界値として lim[x→0] と lim[y→0] を
考察する必要があった。
No.6
- 回答日時:
#2のものです。
x=(2cosθ)^3,y=(sinθ)^3 (0≦θ≦2π)
の置き方にどのように気づいたかというと、
{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0の条件式から^(1/3)を除去するために次のように置換します。
x=s^3,y=t^3
これを条件式に代入すると
(s^2)/4+t^2=1
これは楕円の式です。
この場合の媒介変数表示として
s=2cosθ,t=sinθ
が使われます。これをx,yの式に代入すると得られます。
あと#3の補足について
>しかし、最大値を求めるときに、lim[x→∞]g(x)が
>必要ですよね?
条件式{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0を変形する。
{x^(2/3)}/4=1-y^(2/3)
x^(2/3)≧0,y^(2/3)≧0ですから
0≦{x^(2/3)}/4=1-y^(2/3)≦1-0=1
0≦{x^(2/3)}≦4
-2≦{x^(1/3)}≦2 (0≦x^2≦a^2の時、-|a|≦x≦|a|)
-8≦x≦8
となります。この範囲だけを考えればよい。
実際にはf(±x,±y)=f(x,y)(複号任意)であるので0≦x≦8の範囲だけを考えれば良い。
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