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ねずみ算?倍々計算の計算の仕方

勉強しているさいにふとおもいついたんですけど

ある小学生が、親に頼みました。
「今月は1円、来月は2円、再来月は4円と、
先月の倍額のおこずかいをちょうだい」
さて、親が払う金額が100万円を超えるのは何ヶ月目でしょうか?

こういった問題なんですが解き方おしえてもらえませんでしょうか
答えまで出していただいて結構です
おねがいします

gooドクター

A 回答 (5件)

コメントにお答えします。


まず、前回回答の訂正から

検算のところで
2^19 - 1 = 1048576/2 < 100万
ではなく
2^19 - 1 = 1048576/2 - 1 < 100万
でした。

>>>公式がきまってるわけとかではなさそうですね

いえ。公式はあります。
高校で習う「等比級数の和」の公式です。
前回回答の式は、その公式を導く手順と基本的に同じです。
公式を使ってしまうと納得してくれないような予感がしたので。


>>>
すみません なんか混乱してきました
nヶ月目 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n-2) + 2^(n-1)
の2^(n-2) + 2^(n-1)の部分の n-2 と n-1 解説していただけないでしょうか

1ヶ月目(n=1)


2ヶ月目(n=2)
1+2^1 = 1+2^(n-1)

3ヶ月目(n=3)
1+2^1+2^2 = 1+2^(3-2)+2^(3-1)
 = 1+2^(n-2)+2^(n-1)

4ヶ月目(n=4)
1+2^1+2^2+2^3 = 1+2^(4-3)+2^(4-2)+2^(4-1)
 = 1+2^(n-3)+2^(n-2)+2^(n-1)

10ヶ月目(n=10)
1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^7+2^8+2^9
 = 1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(10-3)+2^(10-2)+2^(10-1)
 = 1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(n-3)+2^(n-2)+2^(n-1)


100ヶ月目(n=100)
1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^97+2^98+2^99
 = 1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(100-3)+2^(100-2)+2^(100-1)
 = 1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(n-3)+2^(n-2)+2^(n-1)

つまり、nがどこまで大きくなっても、累計は、
1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(n-3)+2^(n-2)+2^(n-1)
となります。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました
とてもわかりやすいです
お礼おくれてすみません
ありがとうございました

お礼日時:2010/07/03 07:31

こんにちは。



1ヶ月目 1
2ヶ月目 1+2
3ヶ月目 1+2+4

書き直すと、
1ヶ月目 1
2ヶ月目 1 + 2^1
3ヶ月目 1 + 2^1 + 2^2
4か月目 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3
ということは、

nヶ月目 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n-2) + 2^(n-1)
これをSと呼ぶことにします。
S = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n-2) + 2^(n-1)
両辺に2をかけると
2×S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n-1) + 2^n
連立方程式の加減法みたいな感じで、下の式から上の式を引くと
ダブっている部分が消えて、
2×S - S = 2^n - 1
S+S-S = 2^n - 1
結局
S = 2^n - 1
2の10乗は、1024。つまり、だいたい1000です。
(デジタル技術者と麻雀打ちは覚えること必須)

なので、2の20乗が、だいたい100万です。
ですから、
だいたい100万 = 2^n - 1
のとき
n = だいたい20

検算
2^20 - 1 = 1048576 - 1 > 100万
2^19 - 1 = 1048576/2 < 100万

つまり、n=20 (20か月目) で、累計が100万を超える が答えです。

なお、nか月めだけの1か月だけの金額ということであれば、21か月目 が答えです。

この回答への補足

すみません なんか混乱してきました
nヶ月目 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n-2) + 2^(n-1)

の2^(n-2) + 2^(n-1)の部分の n-2 と n-1 解説していただけないでしょうか

補足日時:2010/06/23 00:47
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました!
式にしてもらって納得できました


公式がきまってるわけとかではなさそうですね

お礼日時:2010/06/23 00:40

倍々にするのですから2の乗数です。

ですから100万を超えるとしたら、2の20乗だったら1,048,576になります。最初の1ヶ月目は1円ですから、20+1で21ヶ月目に100万を超えます。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました

結構地道な作業ですね。
公式とかあればいいんですが

お礼日時:2010/06/23 00:38

2^19=524,288(19ヶ月目)


2^20=1,048,576(20ヶ月目)
または、
log2(1,000,000)≒19.93156857
で、20ヶ月目
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2のゼロ乗=1


2の1乗=2
2の2乗=4

2の20乗=1,048,546

100万を2で割り続けて何回で2未満になるか・・・で分かります。
電卓があれば2×2×・・・で計算できますよね。
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この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました!

お礼日時:2010/06/23 00:37

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