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数学の関数の問題です
問題文はa,kを実数とする。実数xについての方程式∣x-1∣-ax+k^2+ak-2=0が、定数aがどのような実数であっても必ず解を持つようなkの最大値を求めよ。です

私はx>=1のときとx<1のときで分けたあとaでくくり、
(○)a+□=0としたあと
○=0かつ□=0のときを求めました。
答えは(-1+√13)/2,(1-√5)/2となり、最大値なので大きい(-1+√13)/2にしました。
解説と答えは同じですが解き方が全然違うので間違っているか、その場合はどこが間違っているか教えて欲しいです

「関数のグラフ」の質問画像

A 回答 (5件)

x≧1のとき、


あなたは
 x=k → k-1=-k²+2・・・・・①
としていますので、グラフ
 y=k-1 と y=-k²+2
の交点を求めていますが、aが任意のとき満たすべき1つの k
を求めているだけです。この kが何を意味しているか説明し
てません。

しつこく言うと k=0 も命題を満たし、命題を満たす kは他
にもあるが、①の結果より大きい kが存在しないことを述べ
ていない。


したがって、
 y=a(x-k)-k²+2・・・・②
のグラフは必ず、(k, -k²+2)をとおり、この点の軌跡は放物
線を描き、
 y=|x-1|・・・・③
のグラフと交わる。そして、③の上側の内側にこの点がある
かぎり、任意のaに対し、必ず交点がある。もし、この外側
に出れば
 右側で外に出たとき、a=1 のとき、②は③と交わらない。
 左側で外に出たとき、a=-1のとき、②は③と交わらない。
とわかるから①で求めた交点
 k=(-1+√13)/2 (k>0 だから)
以下の kのとき、交点がある。

同様に、左側の交点 (k<0)
 -(k-1)=-k²+2
も同様に議論できて
 (1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2
の範囲の時、交点があると、言える。
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|x-1|-ax+k^2+ak-2=0…①



x≧1のとき
x-1-ax+k^2+ak-2=0
(1-a)x+k^2+ak-3=0
(a-1)x=k^2+ak-3

x≦1のとき
1-x-ax+k^2+ak-2=0
(a+1)x=k^2+ak-1

(a≠1)&{(k^2+ak-3)/(a-1)≧1}…(1)
ならば
x=(k^2+ak-3)/(a-1)
が①の解となる

(a≠-1)&{(k^2+ak-1)/(a+1)≦1}…(2)
ならば
x=(k^2+ak-1)/(a+1)
が①の解となる

a=-1のとき(1)から
1≦(k^2+ak-3)/(a-1)
1≦(k^2-k-3)/(-2)
2≦-k^2+k+3
k^2-k-1≦0
(k-1/2)^2-5/4≦0
(1-√5)/2≦k≦(1+√5)/2…(3)

a=1のとき(2)から
(k^2+ak-1)/(a+1)≦1
(k^2+k-1)/2≦1
k^2+k-1≦2
k^2+k-3≦0
(k+1/2)^2-13/4≦0
(-1-√13)/2≦k≦(-1+√13)/2

↓これと(3)から

(1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2

∴kの最大値は
(-1+√13)/2
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    • 0

|x-1|-ax+k^2+ak-2=0



x≧1のとき
x-1-ax+k^2+ak-2=0
(1-a)x+k^2+ak-3=0
(a-1)x=k^2+ak-3
a≠1のとき
x=(k^2+ak-3)/(a-1)
x≧1だから
(k^2+ak-3)/(a-1)≧1…(1)

x<1のとき
1-x-ax+k^2+ak-2=0
(a+1)x=k^2+ak-1
a≠-1のとき
x=(k^2+ak-1)/(a+1)
x<1だから
(k^2+ak-1)/(a+1)<1…(2)

a=-1のとき(1)から
1≦(k^2+ak-3)/(a-1)
1≦(k^2-k-3)/(-2)
2≦-k^2+k+3
k^2-k-1≦0
(k-1/2)^2-5/4≦0
(1-√5)/2≦k≦(1+√5)/2…(3)

a=1のとき(2)から
(k^2+ak-1)/(a+1)<1
(k^2+k-1)/2<1
k^2+k-1<2
k^2+k-3<0
(k+1/2)^2-13/4<0
(-1-√13)/2≦k≦(-1+√13)/2

↓これと(3)から

(1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2

∴kの最大値は
(-1+√13)/2
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結論から言えば「正しくない」です。



>○=0かつ□=0のときを求めました。

そのやりかたは「任意の a に対して (○)a + □ = 0 が恒等的に成り立つ」ということです。
ただし、この問題の場合には、
「ある特定の a に対して、 (○)a + □ = 0 を満たす k があればよい」
ということです。
つまり、「特定の a と k の組合せ」が存在すればそれでよいのです。
「任意の a に対して」という条件は必要ありません。

つまり
(○)a + □ = 0
より、○≠0 であっても
 a = □/○
を満たす k が存在すればよいのです。


数学的には、あなたの解き方は「2つの曲線(曲線と直線)が接するとき」の条件(k の値)を求めていることになります。
その「接するとき」の k が A と B (A ≦ B)だとすると、求める k の条件(2つの曲線が共有点を持つ)が
 A ≦ k ≦ B   ①
なのか
 k ≦ A または B ≦ k   ②
なのかによって「最大値」が変わります。
あなたは「A と B」を求め、「A < B」だから「B が最大」と結論付けていますが、その場合には①であることも併せて示す必要があります。
もし②だったら「B が最大」とは言えないからです。

たまたま偶然「正解と同じだった」かもしれませんが、論理の進め方、結論の判定のし方が「不十分、一部が抜けている」ということになると思います。
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k=0のとき


|x-1|-ax+k^2+ak-2=0
|x-1|=ax+2

-2≦a<1のときの解は
x=3/(1-a)
a≦-2またはa>-1のときの解は
x=-1/(a+1)
だから

k=0
のとき
∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0

定数aがどのような実数であっても必ず解を持つ

k=1のとき
|x-1|-ax+k^2+ak-2=0
|x-1|=ax-a+1

a<1のときの解は
x=1+1/(1-a)
a>-1のときの解は
x=a/(a+1)
だから

k=1
のとき
∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0

定数aがどのような実数であっても必ず解を持つ

∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0

定数aがどのような実数であっても必ず解を持つような
kは
k=(-1+√13)/2
k=(1-√5)/2
だけとは限らない
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