最大値について

5x^(4/5 ) y^(7/5)の最大値はどうなりますか？

24x+28y-33=0とします

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/07 21:30

ああ、前回↓No.2 への意味不明な補足は

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12399102.html
この話へつながるのか。
だったら、 f(x,y) = 5 x^(4/5) y^(7/5) の勾配じゃなく、
F(x,y,λ) = f(x,y) - (24x+28y-33)λ の勾配を求めるんです。

∇F = (∂f/∂x - 24λ, ∂f/∂y - 28λ, 24x+28y-33)
　　= (0,0,0)
となる (x,y,λ) が、最大点の候補になります。
ラグランジュの未定乗数法というやつです。
(ちなみに、ラグランジュはフランス人ですがラ・グランジュじゃないですよ。)

今回の f(x,y) だと
4 x^(-1/5) y^(7/5) - 24λ = 0,
7 x^(4/5) y^(2/5) - 28λ = 0,
24x + 28y - 33 = 0
を解くことになるので、
w = x^(4/5) y^(7/5),
4 w/x = 24λ,
7 w/y = 28λ,
24x + 28y - 33 = 0
の 2番目, 3番目の式を使って ４番目の式の x,y を消去すると
w/λ = 3.
よって、2番目, 3番目の式により
x = 1/2, y = 3/7.
これを 1番目, 4番目の式へ代入すれば w,λ も求まるけれど、
求めても値を使わないので省略。

結局、
拘束条件 24x+28y-33 = 0 の下で f(x,y) が極値を持つ...
すなわち F(x,y,λ) が極値を持つ点の候補は、
(x,y) = (1/2, 3/7) だけということになります。
この点で f(x,y) が極大値であれば、それが最大値だということです。
f(1/2, 3/7) が極大値かどうかを見るには、この点で
ヘッセ行列の固有値が２つとも負かどうか調べればよいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました
解決できました

お礼日時：2021/06/07 21:33

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/07 18:23

24x+28y-33=0

だから、
　　y = (33 - 24x)/28
なので
　　f(x) = 5(x^(4/5)) (((33 - 24x)/28)^(7/5))
の最大値を求むという話。

　ここで、a^(m/n)（aが実数でm, nは正の整数）というのは、aが負の時は「定義されない」。言い換えれば、暗黙裡に「x≧0かつy≧0」という制約条件が付いていることになる。なので結局、
　　33/24 ≧ x ≧ 0
の範囲での最大値を求めている。だから、この範囲でのf(x)の増減を微分を使って調べればいいだけです。
　さて、(x^(4/5)) がx=0で0になる単調増加の至る所連続な関数で、(((33 - 24x)/28)^(7/5))が x=33/24で0になる単調減少の至る所連続な関数であることは一目でわかるから、この範囲内に極大が（1つかもっとかは知らないが）あって、そのどれかが最大に違いないとわかりますね。

この回答へのお礼

具体的にｘいくつのときにそうなるかというのはわかりませんか？

お礼日時：2021/06/07 18:26