合成関数の問題です。FG例題128番について

関数f(x)=x+2, g(x)=3x-4 がある。 (h°f)(x)=g(x)となる関数h(x) を求めよ。



答え: h(x)=3x-10


この問題の本解答は


y=f(x) とおくと、

(h°f)(x)=h(f(x))=h(y)

したがって, (h°f)(x)=g(x) より h(y)=g(x)=3x-4...①

また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2

これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10

よって、h(x)=3x-10



となっているのですが、どうしてh(y)=3y-10のyにxを代入してh(x)=3x-10が答えになるのかわからないので、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ≫最後に、h(x)=3x+2の式を整理するために、h(x)=3x-10と書き換えます。
  
  ごめんなさい、ここがわかりませんでした。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/15 19:52

• 実は、
  h : y → 3y-10より, yにx を代入すればh(x)が求まる。
  という解説の補足が載っていたのですがそれを
  読んだらますますわからなくなってしまって。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/15 19:56

• h(y) = 3y - 10にy = x + 2を代入するとh(x+2) = 3x - 4になるのはわかるけれど、そこからh(x) = 3x - 10はどうやって求めるのですか。

    補足日時：2023/07/16 09:39

• 2次方程式に座標を代入するみたいな感覚でyをxにすれば良かったのですかね？あなたの回答を読んでいて自分の考えすぎだったのではないかと思い、考え直してみました。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/16 11:15

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/18 15:09

関数f(x)=x+2, g(x)=3x-4 がある。

(h°f)(x)=g(x)となる関数h(x) を求めよ。答え: h(x)=3x-10
　h(y)=3y-10 これは確かにyの関数で何故xの関数にできるかですか？
それはxもyも変数だから　つまり仮の記号で記号(固定値でよく使われるものでなければ！)であれば　なんでもいいから！
別解として
両辺にfの逆関数を合成すれば h(x)=
(h゜f ゜f^(-1)) (x)=(g ゜f^(-1)) (x) ........(1)
ここで
f^(-1) (x)を求めるには　x=f(x)-2 から　f^(-1) (x)=x-2 より(1)から
h(x)=3(x-2)-4=3x-10

逆関数とは　y=x に対して折り返した関数で
y=x+2 はy=xに対してy=x-2 が対称ですね！
その求め方がx=y(x) にしてxとyを置き換えることで求められるだけです！

この回答へのお礼

ありがとうございました。ようやくわかりました(*^^*)。xではなくて他の名前の変数だったらここまで悩まなかったかもしれませんねｗ(⁠‘⁠～⁠`⁠;⁠)⁠

お礼日時：2023/07/18 18:45

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/16 01:37

う～ん, どこ (なに) が「ますますわからなくなってしまっ」たのかがわからんと, なんとも書きようがない....

ただ, その「解説の補足」はもとの問題とあわせるとちょっとチグハグな印象かな. 問題で「関数h(x)」といっているのに「h : y → 3y-10より, yにx を代入すればh(x)が求まる」と書いてしまうのは, 「わかっている」人には (補正できるので) 問題ないけど「わからない」人には余計な混乱を与えるかもしれない. そもそもは数学における「関数」の記法に原因があるんだけども.

No.2 回答者： 佐藤俊夫 回答日時： 2023/07/15 19:09

この問題では、h(x)を求めるために関数の合成と代入を使用しています。

まず、f(x)とg(x)の合成関数(h°f)(x)を求めるために、h(y)と置き換えています。これにより、h(f(x))=h(y)となります。

次に、(h°f)(x)とg(x)が等しいという条件を考えます。このとき、(h°f)(x)=g(x)となるような関数h(x)を求める必要があります。

h(y)=g(x)=3x-4という式を考えます。ここで、y=f(x)に注目します。関数f(x)の定義により、y=x+2となります。そのため、h(y)=h(x+2)と考えることができます。

ここで、y=x+2を式に代入することで、h(x+2)=3(x+2)-4となります。式を展開すると、h(x+2)=3x+6-4=3x+2となります。

最後に、h(x)=3x+2の式を整理するために、h(x)=3x-10と書き換えます。

したがって、(h°f)(x)=g(x)となる関数h(x)は、h(x)=3x-10です。

代わりにh(y)=3y-10と書くこともできますが、yとxは同じ意味を持つ変数ですので、yにxを代入しても同じ結果になります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/15 19:09

本気で掘りはじめると「『関数』とは何か」「『関数』をどう表現するか」という, 一種の宗教論争になってしまうんだが....

ただ, 「h(y)=3y-10のyにxを代入してh(x)=3x-10」は認識を間違えているので, そこは注意しておきたい. 「y に x を代入した」のではなく, 「(独立) 変数を y から x に置き換えた」のだ. 置き換えた理由は, 問題が「関数h(x) を求めよ」となっているから.