写真の問題の(3)についてですが、 青丸部分の式は、赤丸の部分(y=2より下)の面積を 求めていると

写真の問題の(3)についてですが、
青丸部分の式は、赤丸の部分(y=2より下)の面積を
求めていると思うのですが、なぜ青丸のような式になるのかわからないです。詳しい解説をお願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/27 20:54

赤丸の図の斜線部の図形の各 x での高さは、

直線の y である 2 から
放物線の y である (1/4)x^2 - 1 を引いて
2 - ((1/4)x^2 - 1).

これを斜線部が存在する x の範囲
-2√3 ≦ x ≦ 2√3 で積分すれば、斜線部の面積は求まる。
斜線部 = ∫[-2√3,2√3]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx だが、

図形が y 軸対称なので
斜線部 = ∫[-2√3,0]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx + ∫[0,2√3]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx
　　　= ∫[0,2√3]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx + ∫[0,2√3]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx
　　　= 2∫[0,2√3]{ 2 - ((1/4)x^3 - 1) }dx
と計算したのが、青丸の式。