高1数学の絶対値の場合分け 多分超基礎の4つの質問 ❶場合訳ってなんのためにやるの？ ❷何をどこで分

高1数学の絶対値の場合分け
多分超基礎の4つの質問

❶場合訳ってなんのためにやるの？

❷何をどこで分けてるの？

❸写真の右下の図何？
❹ルートの中で2乗されてるものが2乗外されて絶対値マークつく理由は？
④それが符号がひっくり帰る時と返らない時があって絶対値マークがなくなるのはどうして？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/04 11:26

＞❶場合訳ってなんのためにやるの？

場合「分け」ね。

文字で書かれたものを、正しく式の中に表現するためと思えばよいです。
要するに

　A>0 のとき |A| = A
　A<0 のとき |A| = -A (>0)
　A=0 のとき |A| = A = -A (=0)

ということですから。
（一番下は「どちらにも含まれる」ので、上の２つのどちらかに「等号」を含めてしまうことが多いです）

＞❷何をどこで分けてるの？

上に書いたように、「絶対値の中身」が「正か負か」で分けます。

＞❸写真の右下の図何？

問題の (2) では、２つの場合分けが必要になるので、その組合せ、そして上に書いたように「等号をどちらの含めたか」を整理するためのものでしょう。
その図に書かれた以上の意味はありません。単なる「頭の中の整理」のための図です。

＞❹ルートの中で2乗されてるものが2乗外されて絶対値マークつく理由は？

それが「イコール」「等価になる」ということです。

たとえば
　A=3 であっても A=-3 であっても A^2 = 9
です。
従って
　A^2 = 9 であれば、A = ±3 である
　（A=-3 または A=3 である）
とということになります。
つまり、もし A=-3 であれば
　√(A^2) = √9 = 3 = -A
ということ。
もちろん、A=3 のときには
　√(A^2) = √9 = 3 = A
ですから、合わせて（記号「A」だけで表記すると）
・A>0 のとき √(A^2) = A
・A<0 のとき √(A^2) = -A (>0)
となります。
A=3 と分かっていないときには
・A=0 のとき √(A^2) = A = -A (=0)
ということもあり得ます。
これは、上に書いた「絶対値の場合分け」と全く同じことが分かるよね。

なので
　√(A^2) = |A|
とも書けるわけです。
それは「等価」なので、「イコール」で結ぶことができます。

＞④それが符号がひっくり帰る時と返らない時があって絶対値マークがなくなるのはどうして？

それが、最初に書いた「場合分け」です。
場合分けによって、「符号がひっくり帰る時」と「返らない時」に分かれるのです。というか、そうなる範囲ごとに区分けするのが「場合分け」の目的です。

No.2 回答者： スギ-C2H5OH 回答日時： 2023/05/04 11:17

No.1回答では不十分ですので追記します。

★ルート（√）の式うまく書けませんが・・・
　　√3は正の数ですよね。負ならば-√３ですよね。
　　それでルートの中に文字式があったら、チョット
　　ややこしいことになる。ということです。
★ルートの中にxの二乗あれば
　xが正or負or0何であっても負にはなりませんが
　ルートをはずして、=xとはなりませんね。
　xが負ならば困ります。√(xの二乗)は負でないので。
　そこで絶対値の登場です。
　　・x≧0の時
　　・x<0の時
　　この2通りで場合分けです。
★さらに（x-2）の二乗あれば
　　（x-2）が「0以上」と「負」で場合分け、です。
　・(x-2)が0以上、つまり、x≧2の時
　・(x-2)が負、つまり、x<2の時
　　この2通りで場合分けとなります。
★結局、xが0と2を境にして
　・x<0
　・0≦x<2
　・x≧2　
　　これら3通りの場合を数直線上で絵にしたものが
　　右下の図です。
　　
【蛇足】私が高校1年の最初の実力テストで
　　　　ひどい目にあった「場合分け」思い出して
　　　　懐かしくて書いてみました。

No.1 回答者： スギ-C2H5OH 回答日時： 2023/05/04 10:45

絶対値：「プラスやマイナスの符号を取る」と習いました。

【例】｜-5｜＝5、｜+5｜＝5、｜5｜＝5
　　　正でも負でも、符号取られて結局、正の数になります。
では、｜a｜＝？？
　　例のとおりプラスマイナスの符号を取りたいですが
　　aが正か負かわかりません。どうしましょう？？？
なので「aが正ならば、そのまま」つまり｜a｜＝ａ
「ａが負ならば、マイナスつけておけば正になるので」|a|＝-a
これが場合分け、です。
　おっと、どっこい、a=0の場合が抜けていますね。
　「aが正の場合」あらため「aが0以上」としておきましょう。
　もちろん「aが負の場合」に0も含めて「aが０以下」としても
　いいですけど、何か不自然に感じます。