教えてください！ あるくじ引きには5枚に1枚の割合でアタリが入っていると宣伝しているが、実際には20

教えてください！

あるくじ引きには5枚に1枚の割合でアタリが入っていると宣伝しているが、実際には20枚に1枚の割合ではないかと疑念が持たれている。そこでくじを8枚引いたところ、
　①ハズレ
　②ハズレ
　③ハズレ
　④ハズレ
　⑤ハズレ
　⑥ハズレ
　⑦アタリ
　⑧ハズレ
という結果になった。このとき、「5枚に1枚が当たり札」と仮定したときの尤度を求めよ。小数点以下5桁未満は四捨五入して、小数点以下5桁までの値を答えること。なお、くじを引いてもアタリを引く確率は変化しない（すなわち、復元抽出する）ものとする。

質問者からの補足コメント

• こちらもわかる方教えて欲しいです！
  
  この実験の結果として、次の選択肢のうち最も適切と考えられる結論を1つ答えよ。
  
  a.
  このくじ引きには5枚に1枚の割合でアタリが入っている可能性の方が高い。
  
  b.
  このくじ引きには20枚に1枚の割合でアタリが入っている可能性の方が高い。
  
  c.
  このくじ引きに5枚に1枚の割合でアタリが入っている可能性と20枚に1枚の割合で当たり札が入っている可能性は全く同じである。
  
  d.
  このくじ引きに5枚に1枚の割合でアタリが入っている可能性と、20枚に1枚の割合でアタリが入っている可能性のどちらが高いかを考えうる情報はない。

    補足日時：2023/05/29 09:31

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/02 09:16

#7です。

もし、８試行中６個当たりが出ると、#7の添付グラフを見れば分かるように、1/5か1/20か、どちらも尤度は０漸近しているため、尤度では判定困難になってしまいます。

ピアソンのχ2値であれば、明らかに1/5の可能性が高いと言えます。

このように多角的に見ることが必要だと思います。

（６個も出れば1/5なのは当然だろ、と根拠なく言い張る人もいるかもしれませんがね）

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/01 14:21

#5です。

確率1/5のとき、確率1/20のとき、８回の試行中の当たりの個数でそれぞれ尤度が決まってきます。

添付のグラフは、８回の試行中の当たりが０個から８個まで全て計算してグラフにしたものです。上のグラフは値が大きい方がよくフィットしていると言えます。
ついでに、ピアソンの適合度検定に用いられるχ2値も、それぞれについて計算してみました。こちらは距離ですから、値が小さい方がよくフィットしていると言えます。

いずれも、８回の試行中の当たりが０個なら確率1/20の可能性が高く、１個以上であれば確率1/5の可能性が高いと言えます。

よって解答はaです。

面白いことに、ピアソンのχ2値では８試行中２個当たりが出る場合が最も適合しているという結果になり、尤度と傾向が異なりました。
でもこれは、本来であればフィッシャーの正確確率でやるべきところを、ピアソンでやったからではないかなぁ、と薄々思っています。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/29 16:25

単に、2通りの仮説についてそれぞれの尤度（ゆうど）を計算して、どっちが大きかを言うだけです。

（問題文を読めば、検定しろというんじゃないんだから帰無仮説なんて関係ないし、値が近いかどうかを心配する必要もない。）
　くじ引きが毎回独立だと仮定すれば、確率pでアタリのものが8回中1回アタリになる尤度は
　　P(8回中1回アタリ|アタリの確率=p) = 8C1 p((1-p)^7)
という（pをパラメータとする）二項分布。ちなみに、横軸pでプロットするとこんな格好↓
　で、p=0.2とp=0.05の場合をそれぞれデンタクで計算すればOK。（あるいは、もしかして対数表が与えられているのかな？）

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/29 13:46

方法は、帰無仮説：p=1/5、対立仮説：p＝1/20で尤度比検定

でも、誤判定の確率（危険率）が与えられていないですよね。

すると、帰無仮説とか考慮せず、分類器問題として識別境界を出して決めるのかなぁ。このケースでは、両群の尤度が等しくなる点が識別境界になります。yhr2さんのご意見はこれ。

あるいは、ピアソンの適合度のように、距離に置き換えて、どちらに近いか調べるのかしら。
でも度数１だから、フィッシャーの正確確率でやるべきと考えると問題の難易度が上がりますね。

興味深い問題です。

なお、復元抽出だから、独立試行と考えられるため、出現順序は関係ないと思います。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/29 09:50

No.2 です。

「補足」について。

#2 に書いたことを、「20枚に1枚の割合」についても計算して、どちらが大きいか（尤度が大きい = それが起こるもっともらしさが大きい）で結論を出せといっています。

「20枚に1枚の割合」なら、「順番まで」考えれば
　(19/20)^7 × (1/20)^1 = 0.03491686･･･ ≒ 0.034917

で、「5枚に1枚が当たり札」と仮定したときの尤度の方がわずかに大きいです。
（「順不同」の場合には、両方ともそれに 8C1 をかけるだけなので、大小関係は変わらない）

従って、選択肢の「b」「c」はないでしょう。
議論を要するのは「わずかでも大きいのだから a」とするか、「この程度の差だと結論が出せないので d」とするか、という点でしょう。
それが、この課題の「本質」なのでは？
「尤度の計算」は「できて当たり前」の課題なのだと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/29 09:25

＞「5枚に1枚が当たり札」と仮定したときの尤度

とは、「5枚に1枚が当たり札」と仮定したときに、①～⑧の現象が発生し得る確率ということ。
これを「順番まで」考えるか、「8回に１回アタリ」という「順不同」で考えるかで答えが変わってきます。

「順番まで」考えれば
　(4/5)^7 × (1/5)^1 = 0.04194304 ≒ 0.041943

「順不同」でよければ
　8C1 × (4/5)^7 × (1/5)^1 = 0.33554432 ≒ 0.33554

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/05/29 09:31

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/05/29 09:21

その前に、

〇度について教えてはくれまいかッ！

読み方も……。