数学です。 Σ｛3（この3の指数がk）＋2）の答えがわからないです。 わかる人がいたら教えてください

数学です。
Σ｛3（この3の指数がk）＋2）の答えがわからないです。
わかる人がいたら教えてください。
お願いします。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/07 15:21

No.3ですが　高校数学で差分・和分の考えで解いてみましょう！

S=Σ「k;1...n」3^k =3+3^2+3^3.......+3^n
とおけば
3S=Σ「2...n+1」3^k=3^2+3^3+........+3^n+3^(n+1)
となり 下から上を引けば相殺されて
3S-S=3^(n+1) - 3=3(3^n - 1)
∴(3-1)S=3(3^n - 1)
∴　2S=3(3^n - 1)
∴　S=(3/2){3^n -1}

これはn=1 のとき　成り立つ
ここで　Σ2=2Σ1=2n　から
Σ{3^k +2}=(3/2){3^n -1}+2n

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/04 14:52

3^x について差分をとれば ⊿f(x)=f(x+1)-f(x)より

⊿a^x=a^(x+1) -a^x=a・a^x -3^x=(a-1)a^x
ここで両辺の和分をとれば a^x=(a-1)⌠a^x ⊿x
∴⌠a^x ⊿x=a^x /(a-1) ここでa^x=3^x より
⌠3^x ⊿x=3^x /(3-1)
Σ[1...n]3^k=⌠「1...n」3^k ⊿k=[3^k /(3-1)] 「n+1....1」
=(1/2){3^(n+1) -3^1}
=(1/2)・3・{3^n -1}
=(3/2){3^n -1}
これはn=1 のとき　成り立つ
ここで　Σ2=2Σ1=2n　から
Σ{3^k +2}=(3/2){3^n -1}+2n

参考に
Σ{3^(k+2)}=Σ{3^2・3^k}=9・Σ3^k　以下省略

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/03 21:37

Σ(3ᴷ+2)？

等比数列の和＋2のn倍の和
Σ(3ᴷ+2)=Σ3ᴷ + Σ2

Σ3ᴷは初項が3で公比3の等比数列の和：公式を使って計算

Σ2=2+2+2+2+2・・・・。2をn個足すんだから2n

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/03 19:56

Σ[k=1〜n]｛ (3^k)+2 } って話なのかな？

もし、そうであれば、
Σ[k=1〜n]｛ (3^k)+2 } = { Σ[k=1〜n] 3^k } + { Σ[k=1〜n] 2 }
= 3{ 1 - 3^(n+1) }/{ 1 - 3 } + 2n
= (-3/2){ 3^(n+1) - 1 } + 2n.

Σ[k=1〜n] 3^k は等比数列の和だし、
Σ[k=1〜n] 2 は定数の和だから、簡単でしょう？

Σ の意味が Σ[k=1〜n] ではないなら、
題意に合わせて適当に。