関数1/(1+√x)のx=1における微分係数を微分の定義に従って求めよ。 これについて教えていただき

関数1/(1+√x)のx=1における微分係数を微分の定義に従って求めよ。

これについて教えていただきたいです。

導関数の定義を使うのはわかるのですが、うまく求められません。

No.5 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/25 14:17

f(x)=1+√x とおく

f'(x)=lim 【h→0】[{(1+√(x+h)} - (1+√x)]/h
=lim 【h→0】[(√(x+h) - √x)]/h
=lim 【h→0】[(√(x+h) -√x)][√(x+h)+√x]/{h[√(x+h)+√x]}
=lim 【h→0】h/{h[√(x+h)+√x]}
=lim 【h→0】1/[√(x+h)+√x]
=1/(2√x)
https://manabitimes.jp/math/1108
逆数の微分公式の証明から
{1/f(x)}'= - f'(x)/{f(x)}^2
= - {1/(2√x}/(1+√x)^2
= - 1/{(2√x}(1+√x)^2}
　　　　→　‐1/　{2・√1・(1+√1)^2 }　→　-1/8　　(x→1)

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/25 13:29

もう一度考えなおします

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/25 13:19

f(x)=1/(1+√x)=(1-√x)/{(1+√x)(1-√x)}=(1-√x)/(1-x) .......(1)

ここで　t=x-1 とおけば　x→1　の時　t→0　だから x=t+1 より
(1)={1-√(t+1)}/{1-(t+1)} ={1-√(t+1)}/(-t)={√(t+1) -1}/ t
　 ={√(t+1) -1}{√(t+1) +1}/ {t(√(t+1) +1)}
={(t+1) -1}/ {t(√(t+1) +1)}
=t/ {t(√(t+1) +1)}
=1/ (√(t+1) +1)
→1/(√(0+1) +1) →1/2　【t→0】
故に
関数1/(1+√x)のx=1における微分は　1/2

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 09:21

f(x)=1/(1+√x)

f'(1)
=lim_{h→0}{f(1+h)-f(1)}/h
=lim_{h→0}{1/{1+√(1+h)}-1/2}/h
=lim_{h→0}{1-√(1+h)}/(2{1+√(1+h)})/h
=lim_{h→0}(-h)/(2{1+√(1+h)})/h/{1+√(1+h)}
=lim_{h→0}-1/(2{1+√(1+h)})/{1+√(1+h)}
=-1/8

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/22 19:13

大学生かな？べき関数の微分公式使って、後から代入したら解けない？