大数の法則と中心極限定理の関係について

統計について勉強しています。

推測の基礎となる定理に、大数の法則と中心極限定理があると思います。
この２つについて

中心極限定理は大数の法則を含んでいると感じるのですが、正しい解釈でしょうか？それとも、大数の法則と中心極限定理は別のものでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/22 14:43

>>①中心極限定理が成り立てば、大数の法則を満たす、は真の命題でしょうか？

中心極限定理は大数の法則を精密化したものとも言えます。

>>ある標本の標本平均は確率的にほぼ母平均の極めて近くの値をとるのではと考えました。

そういう事では無くて、中心極限定理は、母集団分布が何であっても、"サンプルの平均値"は、正規分布となるというものです。
サンプルが正規分布とか、母集団が正規分布するとかは言って無いですよ。
あくまで、”サンプルの平均が”です。

②大数の法則だけだと期待値を計算するのが大変面倒で、何とかスパッと計算出来ないか、の発想から自然と追究して生まれたと思います。

例：サイコロを100回振った時、目の和が300以上420以下となる確率。

一回振った時の目の期待値（平均値）は7/2です。
目の和が300になる可能性と421になる可能性と、、、のように調べ上げていかなくてはならず、大変手間がかかってしまいます。

中心極限定理を使うと0.9981が式で求まります。

この回答へのお礼

お時間をいただきありがとうございます。

>中心極限定理は大数の法則を精密化したものとも言えます。
なるほど、”大数の法則⊂中心極限定理”　ということですね。

大数の法則：確率変数である標本平均が理論値に近づく
中心極限定理：確率変数である標本平均の分布は正規分布にしたがう
　より具体的に，平均が母平均，標準偏差が母標準偏差/ルート(標本の大きさ)の正規分布に従う

という認識でよいでしょうか。
>サイコロを100回振った時、目の和が300以上420以下となる確率。
正規分布を利用して確率が計算できるというのは便利だと改めて感じるきっかけになりました。

※
>中心極限定理を使うと0.9981が式で求まります
について自分なりに計算してみました

さいころ１個を投げる試行を100回行ったとき確率変数である"出る目の平均X~"について
　期待値 E(X~)=E(X) 3.5
　分散 V(X~)=V(X)/100 0.029166667
　標準偏差σ(X~)=σ(X)/√(100) 0.170782513

100回の試行で出る目の総和である確率変数　100X~　について
　期待値 E(100X~)=100E(X~) 350
　分散 V(100X~)=10000V(X~) 291.6666667
　標準偏差σ(100X~)=100σ(X~) 17.07825128
　中心極限定理より、100X~はN(350,291.67…)に従う

よって
　 300　≦　100X~　≦　420　となる確率は、
　標準化　Z　=　(　100X~　－　350　)　/　17.07825128…
　として
　　P(　300　≦　100X~　≦　420　)
　＝P(　-2.927700219…　≦　Z　≦　4.098780306　)
　＝P(　0　≦ Z　≦　4.098780306　)　－　P(　2.927700219…　≦ Z　)
　＝0.999979233　－　0.001707396
　＝0.998271838

これで合っているでしょうか。
（これは　0.9981　と少し違いますが計算過程の小数点以下の精度によるものと考えています。）

統計について勉強し始めたばかりの初心者なので
頂いた回答でとても勉強になります。

お礼日時：2023/08/22 20:31

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/21 22:00

別ですよ。

大数の法則：サンプルが大きくなるにつれて、サンプル平均は理論値の平均に近づいて行く。
例：サイコロを12回振っても2回1が出るとは限らない。
が、1000兆回行なえば、1000兆/6　回1が出る可能性が高くなる。

中心極限定理：サンプルが大きくなるにつれて、サンプル平均と理論値の平均の差は、標準正規分布に近づいて行く。
例：市町村レベルの模試より全国模試の方が当てになる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

①中心極限定理が成り立てば、大数の法則を満たす、は真の命題でしょうか？

中心極限定理により、nが非常に大きいとき、標本平均の分布曲線は母平均の近くに向かってどんどん細くなっていくので、ある標本の標本平均は確率的にほぼ母平均の極めて近くの値をとるのではと考えました。これによって大数の法則が主張できる、ということはないですか？　

②大数の法則の証明と中心極限定理は、それぞれ別のアプローチなのでしょうか？

お礼日時：2023/08/21 22:45

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/21 21:57

ある分布において、中心極限定理が成り立つのなら、大数の法則も成り立つ。

しかし逆は言えないですね。中心極限定理が成り立つかどうかは分布ごとに証明を要する。いやその前に、大数の法則が成り立たない場合もある。
　ここまでは確率論の話です。
　で、ご質問の、統計への応用に際しては、どちらの定理についても「サンプリングが独立」であることや「どのサンプルも同じ分布に従う」という前提がそもそも怪しい場合が多い、ということに要注意です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

サンプリングは独立として考えています。（復元抽出を前提としています。）

入門書には、中心極限定理は「どんな分布においても（分散が発散するようなすそ野が高く長い分布は除く）標本平均は正規分布N(m,σ^2)にしたがう」などとあります。中心極限定理を満たす分布について，中心極限定理が大数の法則の十分条件であることは安心できました。

分布ごとの証明が必要なこと、中心極限定理を満たさない分布について、より詳しく知りたいです。

また、後半の、「どのサンプルも同じ分布に従う」という前提がそもそも怪しい場合が多いということの事情について少し詳しく教えていただけたら嬉しいです。

お礼日時：2023/08/21 22:38