複素数平面の問題です

zは絶対値が1の複素数とする。
z^5+zの絶対値が1になるようなzを全て求めよ。

答えは+-(√3+-i)/2, +-(1+-√３i)/２の８つですが後ろの4つしか出せませんでした。どこが間違えているのか分からないので教えて欲しいです。

(z^5+z)(z^5-z)=1, zの共役＝1/zより
z^5×(1/z)^5 + z^5×1/z + z ×(1/z)^5 + z×1/z = 1
1+z^4+(1/z)^4 = 0
[z+(1/z)＋１][z+(1/z)-1]=0
zが0ではないのでz^2+z+1=0, z^2-z+1=0
以上よりz＝(+-1+-√3i)/2

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/17 11:19

1+z^4+(1/z)^4 = 0

↓
[z+(1/z)＋１][z+(1/z)-1]=0が間違っている

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/20 16:06

ソモソモ（xの共役複素数をx'と書くことにして）

　　|x|^2 = xx'
だったことを思い出しておいて、さて
　　| z^5 + z | = 1
ってことは
　　| z(z^4 + 1) | = 1
すなわち
　　(z(z^4 + 1))(z(z^4 + 1))' = 1
だから
　　zz' ((zz')^4 + z^4 + (z^4)' + 1) = 1
ここで zz' = 1 だから
　　z^4 + (z^4)' = -1
つまり (z^4) の実部は-1/2。そして zz' = 1 だから
　　 z^4 = e^(±2iπ/3)
だと決まる。なのでその4乗根。
　　z = e^(i(nπ/4±π/6)) (n∈{0,1,2,3})

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/17 20:18

つまるところ

z^8+z^4+1=0
を解けばよく, 左辺が「z^4 の 2次式」になっていることに気付けば
[z^2+z+1][(-z)^2+(-z)+1][(iz)^2+(iz)+1][(-iz)^2+(-iz)+1] = 0
と因数分解できたりもする.

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/10/17 17:53

だから最終的に

ｚ＋1/ｚ＝±1、ｚ＋1/ｚ＝±√3　を解けばよい。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/10/17 16:09

4行目左辺は

＝[z^2+(1/z)^2＋１][z^2+(1/z)^2-1]のあやまり
つまりｚの指数は1ではなくて2です。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/17 05:59

z=e^(iθ)

z⁵+z=cos5θ+cosθ+i(sin5θ+sinθ)
|z⁵+z|²=(cos5θ+cosθ)²+(sin5θ+sinθ)²
　=2+2cos5θcosθ+2sin5θsinθ=1 (積和の公式)
→ 2cos4θ=-1
→ 4θ=2π/3±2πn, 5π/3±2πn
→ θ=π/6±πn/4, 5π/12±πn/4

これらの内から、0～２πの範囲を選べばよい。

No.1 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/10/16 22:47

>1+z^4+(1/z)^4 = 0

>[z+(1/z)＋１][z+(1/z)-1]=0

ここ考え直してみて。