コーシー・リーマンの方程式を使った問題

解決済

質問者：techisu_cosmon
質問日時：2024/01/31 12:02
回答数：5件

f(x,y) = x^2 - y^2 - x + 5 + iv(x,y)とする。コーシー・リーマンの関係式を満たすようにv(x,y)を決定せよ。ただし、x,yは実数とし、v(0,0)=0とする。

この問題を解いた結果、v(x,y) = 2xy + 2y - 1となったのですが自信がありません。
この答えはあっているでしょうか。どなたか教えていただけますと幸いです。

みなさん、ご回答ありがとうございます。
たしかにv(0,0)=0にならないためこの答えは間違っていますね。

この-1はコーシーリーマンの方程式から∂v/∂y=2x-1と出てきたものなのですが、この-1はどのように消えるのでしょうか。
どなたか解説いただきたいです。

補足日時：2024/01/31 16:36
通報する

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (5件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.4ベストアンサー

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/01/31 16:58

あっていません

f(x,y)=x^2-y^2-x+5+iv(x,y)

u=x^2-y^2-x+5　とする
↓uをxで偏微分
u_x=2x-1…(1)
↓コーシーリーマン関係式から
u_x=v_y
↓これと(1)から
v_y=2x-1
↓両辺をyで積分すると
v=2xy-y+a(x)…(2)

uをyで偏微分
u_y=-2y…(3)
コーシーリーマン関係式から
u_y=-v_x
↓これと(3)から
v_x=2y
↓両辺をxで積分すると
v=2xy+b(y)
↓これと(2)から
2xy-y+a(x)=2xy+b(y)
-y+a(x)=b(y)
↓右辺はyだけの関数だから左辺もyだけの関数だから
a(x)=C
↓これを(2)に代入すると
v=2xy-y+C
↓0=v(0,0)=Cだから
∴
v(x,y)=2xy-y

- 0
- 件

通報する

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
なるほど、そのように解けばよかったのですね。
理解できました。

通報する

お礼日時：2024/01/31 17:07

No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/01/31 19:52

まず、何をするべきか確認しましょう。

x, y, v(x,y) は実数値であると仮定します。
f(x,y) を無理やり x+iy の複素１変数関数とみなすことにすれば、
コーシー・リーマンの関係式は
∂(Re f(x,y))/∂x = ∂(Im f(x,y))/∂y,
∂(Re f(x,y))/∂y = - ∂(Im f(x,y))/∂x
です。

これへ質問文中の f(x) の式を代入すると、
∂v(x,y)/∂x = - (∂/∂y)(x^2 - y^2 - x + 5) = 2y,
∂v(x,y)/∂y = (∂/∂x)(x^2 - y^2 - x + 5) = 2x - 1
となります、

∂v(x,y)/∂x = 2y,　　←[1]
∂v(x,y)/∂y = 2x - 1,　←[2]
v(0,0) = 0　　　　　　←[3]
となる v(x,y) を求めればよいことになりますね。
[1] を x で積分、[2] を y で積分すると、
v(x,y) = 2xy + (何か y の関数で x に依存しないもの),
v(x,y) = 2xy - y + (何か x の関数で y に依存しないもの)
です。
かつ、[3] も満たすもの...というと、
v(x,y) = 2xy - y を思いつきませんか？　←[4]

v(x,y) = 2xy + a(y),　　←[1’]
v(x,y) = 2xy - y + b(x)　←[2’]
と置いて、
[3] から
a(0) = 0,
b(0) = 0.
[1’] を y で微分、[2’] を x で微分すると
2x - 1 = 2x + a’(y),
2y = 2y + b’(x)
となることから
a(x), b(y) それぞれの微分方程式を解いて
a(y) = - y,
b(x) = 0
などとしてもいいですけど、
[4] から直感で v(x,y) は判りますよね。