数I 命題と論証における「または」について

数Iの命題と論証で、逆 裏 対偶を使うあたりで 「かつ」や「または」という言葉が出てくるのですが、「または」の詳しい定義がよく分かりません。

例をあげて説明すると
x＝2 かつ y＝3 ならば xy＝6の裏が
xy≠6 ならば x≠2 または y≠3　となります。

「または」ということは両方は該当しないでどちらかが該当するという事ですか??文章が複雑で理解に苦しみます。[xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??]
よく分からないのですが これを例に 説明していただけませんか??よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#14584 回答日時： 2005/05/05 01:22

No.3です．

すみません，とんでもないことを書いてしまいました．最後から2行目は，
xy=6ならば，（x≠2ならばy=3）
ではなく，
xy=6ならば，（x=2ならばy≠3）
です．
どうもすみませんでした．

No.6 回答者： atom40 回答日時： 2005/05/05 14:21

たしかにこの対偶の文章は、わかりにくいものになってしまいますね。

こう考えてみたらどうでしょう？

（ｘ、ｙ）＝（２，３）ならばｘｙ＝６
対偶
ｘｙ≠６ならば（ｘ、ｙ）≠（２，３）
つまり「ｘ＝２かつｙ＝３」ではないから、「どっちかは違っているはず」で、「ｘ≠２またはｙ≠３」となります。
たとえば（１，３）（２，２）（１，２）などどの組でも対偶が成り立ちます。

こういう部分を感覚的に理解できると、論理も難しくないことがわかります。

No.5 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/05/05 06:27

「または」は２、３の方のおっしゃるように片方が該当する場合と両方が該当する場合のどちらのケースも含みます。

このあたり日本語の語感とは異なります。
これを論理和といいます。A OR　Bという表現をします。
一方、「片方だけが該当する」場合を排他的論理和といい、A XOR　Bという表現をします。（エグゾアと読んでます）
もっともXORは高校数学には出てきませんが。
他に高校では和集合を習いますけど差集合も習いませんし、まああまりややこしい話はよそうよ、ってな考えなんでしょうかね。集合や論理を本格的に考えようとすると十分に難しくて到底高校数学にならないので、まあ入門編だけやっておこうという、その中にこれらがはいってないだけなんですが。

No.3 回答者： noname#14584 回答日時： 2005/05/05 01:21

x=2 かつ y=3 ⇒ xy=6 (命題は真)

の裏は，
x≠2 または y≠3 ⇒ xy≠6　（命題は偽）
ですね．対偶が，
xy≠6 ⇒ x≠2 または y≠3 （命題は真）
となりますね．

「AまたはB」とは，AかBの少なくとも一つが成り立つことであります．つまり，例では「x≠2かy≠3の少なくとも一つが成り立つ」ということになります．（この場合，両方成り立つ場合も良いことになります）

また，「AまたはB」(A∨B)は以下の様に言い換えられます．
1.（Aでない かつ Bでない）でない
　　￢(￢A∧￢B)

2.AでないならB
　　￢A→B

これを例にあてはめると，
xy=6ならば，（x=2 かつ y=3）ではない
xy=6ならば，（x≠2ならばy=3）
となります．

No.2 回答者： Josquin 回答日時： 2005/05/04 23:07

書いておられる例は「裏」ではなく「対偶」ですね。

[xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??]であってますよ。

「または」というのは「どちらか片方が該当する場合」と「両方は該当する場合」の両方を含みます。数学Ａの集合で「∪」にあたるのが「または」で、「∩」にあたるのが「かつ」です。

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/05/04 23:03

AならばBという命題に対して、

BならばAが逆、

AでないならばBでないが裏、

BでないならばAでないが対偶（逆の裏、もしくは裏の逆）

になります。

ですから、
「xy≠6 ならば x≠2 または y≠3」は
「x＝2 かつ y＝3 ならば xy＝6」の裏ではなく、対偶です。

＞「または」ということは両方は該当しないでどちらかが該当するという事ですか??[xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??]

その通りです。

「xy≠6 ならば x≠2 または y≠3」は言い換えれば、
xy≠6 ならば、 x≠2とy≠3のいずれかが成り立つ、ということです。