中学数学空間図形の問題です。 （2）がわかりません。答えは（1）①√3②3分の√3（2）25分の8π

中学数学空間図形の問題です。
（2）がわかりません。答えは（1）①√3②3分の√3（2）25分の8πです。
解説お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/07 10:53

底面が1辺2cmの正3角形である正3角柱ABC-DEFがあり

5つの面すべてに接する球Oが入っている
|△ABC|=(1/2)2√3=√3
球Oの半径R=1/√3=√3/3

O=(0,0,0)
A=(0,2/√3,1/√3)
B=(-1,-1/√3,1/√3)
C=(1,-1/√3,1/√3)
D=(0,2/√3,-1/√3)
E=(-1,-1/√3,-1/√3)
F=(1,-1/√3,-1/√3)

G=(-1/2,√3/6,1/√3)
H=(1/2,√3/6,1/√3)

↑GH=(1,0,0)
↑EH=(3/2,√3/2,2√3/3)

3点G,H,Eを通る平面の法線ベクトルを
(a,b,c)
とすると平面の式は
ax+by+cz=d
で
法線と↑GHは垂直だから
((a,b,c),(1,0,0))=a=0
法線と↑EHは垂直だから
((0,b,c),(3/2,√3/2,2√3/3))
=b√3/2+2c√3/3=0

3b+4c=0
4c=-3b
(0,4b,4c)=(0,4b,-3b)=b(0,4,-3)
だから
b=4
c=-3
とすると
4y-3z=d
-1/√3=d

だから
3点G,H,Eを通る平面の式は

4y-3z+1/√3=0

平面と球の中心Oとの距離をLとすると

L^2=1/(5√3)^2=1/75

切断された球の切り口の円の半径をrとすると

r^2
=R^2-L^2
=(1/√3)^2-1/75
=1/3-1/75
=(1-1/25)/3
=8/25

∴切断された球の切り口の円の面積は

πr^2
=
8π/25

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/08 16:35

(1) ① 正三角形の面積なので、１辺を「底辺」にすれば、「高さ」は「１辺の (√3)/2 倍」なので、その面積は

　S = (1/2) × 2 × [2 × (√3)/2] = √3

② すべての面に接しているので、上から見れば「正三角形に内接する円」に見える。
△ABC の内接円の中心を O' とすると
　△O'AB ≡ △O'BC ≡ △O'CA
であり、各々の三角形の面積は、内接円の半径を r として
　(1/2) × 2 × r = r
従って、△ABC の面積はこの３倍で 3r であり、これが (1) の S に等しいから
　3r = √3
よって
　r = (√3)/3
この△ABC の内接円の半径が、内接球の半径に等しい。

(2) GH//EF なので、G, H, E をとおる平面は台形 GHFE になる。
また、前提として、「球を平面で切れば、その切り口は必ず円になる」ということを知っていなければなりません。その平面に「直交する直線」を球の中心を通る位置にもってくれば、切り口はその直線に「回転対称」になるからです。

さて、上の(1)②のように上から見ても構造が分からないので、今度は三角柱を横から見てみよう。
平面BCFEに平行に横から見ると、長方形 A'D'E'B' の3辺に半径 r=(√3)/3 の円が接しているように見えるはず。（長方形 ADEB を「斜め」から見ていることになるので、「'」を付けて表記します）
横から見た長方形は、幅が A'B' = √3、高さが A'D' = E'B' = 2r = (2√3)/3 に見える。
そして、G' の位置は円が接した短辺から (√3)/2 の距離。

この側面から見た図で、球を切断する面である G'E' が円のどこを横切るかを調べます。
E' を原点として、横軸を x, 縦軸を y とすれば、
・G'(-(√3)/2, (2√3)/3) と E'(0, 0) を通る直線は
　y = {[(2√3)/3]/[-(√3)/2]}x = -(4/3)x　　　　①
・これに平行で、円の中心 (-(√3)/3, (√3)/3) を通る直線は
　y = -(4/3)x + b
が (-(√3)/3, (√3)/3) を通るので
　(√3)/3 = (4/3)(√3)/3 + b
→　b = (√3)/3 - (4√3)/9 = -(√3)/9
よって
　y = -(4/3)x - (√3)/9　　　　②

①と②の距離は
　L = (√3)/9 × 3/5 = (√3)/15
従って、 G'E' は、円の直径に平行で、中心から L = (√3)/15 だけ離れたところを横切る。

以上から、球を切断する円の半径 R は、三平方の定理から
　R^2 = r^2 - L^2
より
　R^2 = 1/3 - 3/225 = 1/3 - 1/75 = 24/75 = 8/25

従って、その断面の円の面積は
　πR^2 = (8/25)π