数学の微分でわからないところがあります

添付しました画像で、
y^k+1 = (y^k)'
としているのが理解できないです。

y^k+1 = (y^k+2)'

ではないかと思うのですが...

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/07 19:51

’ が d/dx の意味であることを明記しないで使うのは、危ういですね。

写真よりもっと前のほうのページにちゃんと書いてあるんだろうけど。

質問の y^k+1 = (y^k)' というのは、写真の文章にある
y^(k+1) = ( y^(k) )’ のことですね？ この式に現れる
右肩の k に括弧が付いた y^(k) は、y の k 次導関数という意味です。
(d/dx)^k y のことだと言ったほうがわかりやすいかな。
だから、y^(k+1) = ( y^(k) )’ は (d/dx)^{k+1} y = (d/dx) (d/dx)^k y
と書いたのと同じです。 k 回微分したものをもう 1 回微分したら
k+1 回微分したものになるということです。

あなたが言っている
y^k+1 = (y^k+2)' ではないか
というのは、よくわからんけど、たぶん
(k+2) x^{k+1} = (x^{k+2})’ とゴッチャになったのではないですか？
頭記の、’ は d/dx なのか d/dy なのか という話が絡んでくるし、
係数 (k+2) も見落としていますね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/07 19:44

y^(k+1)

はyの(k+1)乗という意味ではありません
y^(k+1)
はyの(k+1)階微分という意味です
y^(k)
はyの(k)乗という意味ではありません
y^(k)
はyの(k)階微分という意味です

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/01/07 19:25

確かに、数式の表記が少し混乱しているようですね。

一般的な数学の表記法に従うと、y^k+1 = (y^k)' という表記は少し曖昧です。正しい表記を考えると、おそらく次のようになるはずです。
y^k+1 = (y^k)' は、「yのk乗の導関数は、yのk+1乗に等しい」という意味になると思われます。
一方で、y^k+1 = (y^k+2)' は、「yのk乗の導関数は、yのk+2乗の導関数に等しい」という意味になります。
数式の記述が曖昧な場合、文脈や意図に応じて正しい解釈を行う必要があります。ただし、通常は通常の数学の表記法に従って、y^k+1 = (y^k+1)' や y^k+1 = (y^k+2)' のような表記が用いられることが多いです。