変換群と写像の違い

写像はf（1）=1.5が可能で変換群はf（1）=1.5が不可能でf（1）=2などになります
変換群は未定義の1.5に対応できないのではないですか
例えば置換群だと定義された1234の中で置換するため写像のようにf（1）=1.5のように未定義の数字1.5に対応できないのではないですか

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/26 14:58

なんか、いろいろとっちらかってるな。

まず、変換群と写像を比較してるとこが論外だと思う。
変換群に含まれる個々の変換が写像の一種だから、
変換と写像を比べるか、変換群と写像の集合を比べ
なければ意味をなさない。

「写像」は普及して安定した意味を持つ数学用語だが、
「変換」のほうはそうでもない。たいていの場合、
写像の定義域と終域が一致するものを「変換」と呼んでいる。
「変換」には、場合により全単射であるようなニュアンスも
あるが、高校でもならう一次変換は全単射とも限らない。

f(1)=1.5 が、定義域=終域の意味で「変換」かと言えば、
定義域をどこにとっているかによる。
ｆ が実数から実数の変換であれば、f(1)=1.5 であることも
ありえるだろう。具体例として f(x)=(1.5)x なんかどうだろう。

＞ 変換群はf（1）=1.5が不可能でf（1）=2などになります
は意味不明な文章だが、たぶん、
f が自然数から自然数への変換の場合 f(1)=1.5 にはならない
ということを言っているのだろう。言ってることは要するに
「1.5 は自然数ではない」というだけであって、至極まっとうだが、
それを言って何か意味があるのかは疑問だ。

「変換群」という言葉を何か勘違いしていることだけは
間違いなさそうだとは思う。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/26 17:26

R=(全実数の集合)

RからRへのすべての全単射写像の集合
G(R)={f|f:R→R,fは全単射}
を(RからRへの)
変換群といいその要素写像fを変換という

写像
f:R→R
を
f(x)=1.5x
と
定義すると
fは全単射写像だから
f∈G(R)
fは変換群G(R)の(要素)変換である

X={1,2,…,n}=(要素数nの有限集合)
XからXへのすべての全単射写像の集合
S_n={f|f:X→X,fは全単射}
は(XからXへの)
変換群を置換群ともいい変換fを置換ともいう

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/26 18:23

ダウト。

「変換」は実数から実数へと限ったものは無い。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/26 20:07

Xを集合とする

XからXへのすべての全単射写像の集合
G(X)={f|f:X→X,fは全単射}
を
X上の
変換群といいその要素写像fを変換という

R=(全実数の集合)
写像
f:R→R
を
f(x)=1.5x
と
定義すると
fは全単射写像だから
f∈G(R)
fはR上の変換群G(R)の(要素)変換である

X={1,2,…,n}=(要素数nの有限集合)
XからXへのすべての全単射写像の集合
S_n={f|f:X→X,fは全単射}
は
X上の
変換群を置換群ともいい変換fを置換ともいう

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/26 20:14

ダウト。

変換が群をなせば「変換群」とは呼び得るだろう。
「すべての」全単射写像でなければならない理由は無い。
その部分群でもかまわない。