線形代数です

表現行列は何を表現しているのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2010/12/22 23:16

＞ベクトル空間の基に標準基をとって基底を表した行列ということで・・・

　もちろん間違いではないのですが、もう少し一般的な話です。以下、推測で書きますので、そんなこたぁ～知ってるよ！、という事まで書くかも知れません。

　まず標準基底とは、e1＝(1，0，0)，e2＝(0，1，0)，e3＝(0，0，1)を集めた{e1，e2，e3}みたいな奴の事ですよね？。これは数ベクトル空間の自然基底と言われます。本来の線形代数は、(1，0，0)のような座標表現を使わなくても展開できます。問題はここなんだな、と推測しました。恐らくお使いの本が、そうなってないのだと思いました

　線形写像f：Ｖn→Ｖmの定義は以下です。x，yはn次元ベクトル空間Ｖnの要素で、f(x)やf(y)はm次元ベクトル空間Ｖmの要素です。kはスカラーとします。＋は、ベクトル間の加法です。

　　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
　　f(kx)＝kf(x)

　ＶnとＶmの任意のベクトルを、基底Ｂn＝{v1，v2，・・・，vn}とＢm＝{w1，w2，・・・，wm}の線形結合（足し算）で表すとします。そうすると、任意のx∈Ｖnは、x＝k1・v1＋k2・v2＋・・・＋kn・vnと表せるので（・はスカラー倍の意味です）、fの定義より、

　　f(k1・v1＋k2・v2＋・・・＋kn・vn)＝k1・f(v1)＋k2・f(v2)＋・・・＋kn・f(vn)

と分解できます。よって線形写像fは、定義域の基底に関する作用を決めれば、完全に決まります。

　ところが、各f(vi)は、Ｖmのベクトルです。なので、{w1，w2，・・・，wm}の線形和で、

　　f(vi)＝a1i・w1＋a2i・w2＋・・・＋ami・wm＝Σj aji・wj

のように書けるはずです。ここでΣjは、jについての和で、ajiのjとiは下付添字です。これを任意のi＝1～nで考えてやれば（つまり上式が、n本並びます）、

　　(f(vi))＝(Σj aji・wj)＝(aji)(wj)　　(1)

となります。直上の行列記法は、ご存知のものと想像しますが、(1)でfの作用を具体的に決めているのは、行列(aji)です。そこで、行列Ａ＝(aij)の事を、基底Ｂn，Ｂmに関する、線形写像fの表現行列と言います。

　行列Ａは明らかに、ＶnとＶmの基底の取り方に依存します。同じ行列Ａであっても、違う基底を取った時の、別の線形写像gの表現行列には成り得るわけですが、ＢnとＢmを固定して考える場合には（普通そうです）、Ａとfは完全に同じものだとみなせます。

　さらに、ＶnもＶmも、座標表現を使った数ベクトル空間だとすると、あなたの言う非常にわかりやすい例になります。実際、任意のベクトル空間で成り立つ(1)の関係を、
　
　　x＝k1・v1＋k2・v2＋・・・＋kn・vn

に適用すると、x'＝(k1，k2，・・・，kn)に対して、f(x)⇔Ａx'という結果が得られ、基底を固定している限り、どんなベクトル空間における線形写像も、結局は数ベクトル空間の関係に翻訳できる事になります。これが本来の線形代数の価値ですが、逆に言えば、これだけの話に過ぎません^^。

No.2 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2010/12/21 12:28

　まず確認です。

　何でも良いから、基底{v1，v2，・・・，vn}を一組決めて、それに基づいて線形写像の定義から、線形写像の行列表現を求められますか？。

この回答への補足

遅くなってすいません。その場合はベクトル空間の基に標準基をとって基底を表した行列ということでいいですよね？

補足日時：2010/12/22 21:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/20 11:09

線形写像.