最後の指針がわかりません

ふつうに
(uT)PΛ(PT)uを計算してけばいいですか？
ここでΛ = (1 0 0, 0 1+√2 0, 0 0 1-√2) とします

質問者からの補足コメント

• 

  1-fのノルムが2以下に収まればいい
  ？

    補足日時：2024/03/28 13:20

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/28 18:52

A = (単位行列) - 2B によって行列 B を定義すると、

f(x,y,z) のときと同様に g(x,y,z) = (u^T)Bu/{ (u^T)u } と書けます。
この B も、 A 同様 B = PD(P^T), D は対角行列 と書くことができます。
P は A = PΛ(P^T) の P と共通で、
D の対角成分は Λ の対角成分を λ_i (i=1,2,3) として 1-2λ_i になっています。
ここで (p,q,r) = w = (P^T)u と置くと
g(x,y,z) = (u^T)PB(P^T)u/{ (u^T)u } = (w^T)Dw/{ (w^T)w }
= (λ_1)(p^2)/(p^2+q^2+r^2) + (λ_2)(q^2)/(p^2+q^2+r^2) + (λ_2)(r^2)/(p^2+q^2+r^2)
と書けますが、
(p^2)/(p^2+q^2+r^2), (q^2)/(p^2+q^2+r^2), (r^2)/(p^2+q^2+r^2) は
足すと 1 になる 3 個の正数なので、
g(x,y,z) は 1-2λ_1, 1-2λ_2, 1-2λ_3 のうちの
最小値を最小値とし、最大値を最大値にすることが判ります。

λ_1, λ_2, λ_3 は Λ の固有値であり、A の固有値と一致します。
これらを求めれば、g(x,y,z) の範囲が解ります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/01 18:11