e^π>21 を示したいのですが、 どのように e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24

e^π>21
を示したいのですが、
どのように
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120....
を使って示せばいいのでしょうか
教えてください

質問者からの補足コメント

• 今までの解説は理解出来たのですが、
  どうしても自分の中では
  写真の考え方で
  初めは軽さをしていたのですが
  答えがうまくいかず
  断念したのですが
  
  条件は
  e^x=1+x+x^2/2+x^3/6....
  に写真の③の考えを用いて
  a=3. h=0.14
  としたら意味がわからないことになってしまいました。
  
  原因は何なんでしょうか
  (写真の式の使い方が違う事はなんとなくは結果からわかるのですが…)
  
  教えてください

  
    補足日時：2018/01/25 16:54

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/01/29 14:12

π≒3.14

a=3, h=0.14
f(ｘ)＝e^xとすると
f(a)＝e^ a＝e^3＝2.71828×2.71828×2.71828=20.085
は解っているとします。
f＇(ｘ)＝e^x , f’’(ｘ)＝e^x___式(1)
③の式は
f(a＋h)≒f(a)＋f＇(a) h＋(f ' ' (a)/2) h^２
= e^a＋e^a h＋(e^a /2) h^２
= e^a(1＋ h＋h^２/2) ___式(2)
hの式の数値を計算すると
(1＋ h＋h^２/2)= 1.1498
式(2)は
f(a＋h)≒ e^a(1＋ h＋h^２/2)
=20.085×1.1498=23.0943は e^πの近似値で23より大きい。
式(1)の計算を忘れやすいので注意。
参考　Excelを利用して計算すると
f(3.14)= e^3.14=23.1038
e^π=23.14069

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2018/01/25 14:25

No.4へのコメントについて。

> この近似の使い方をお教えください

|x|が小さいとき、各項 x^2/2, x^3/6, …は順を追って絶対値がどんどん小さくなる。たとえばx=0.1ならx^2/2=0.01/2, x^3/6=0.001/6のように。だから適当な所まで計算すれば、左辺の近似値が得られるということです。（で、No.3では 1+x という所までを計算したんです。）

　まずここまでが呑み込めたとすると、次には「|x|が幾ら以下ならいいの？」とか「望む精度を出すにはどの項まで計算すればいいの？」とかの疑問が出て来るはずで、それこそが勉強すべき課題です。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2018/01/25 11:13

No.3へのコメントについてです。

> (1+0.1+0.01/2...)
> はどっから

ご質問にお書きの式にx=0.1を代入するんです。

この回答へのお礼

ああ、そうなんですか
テイラー展開とか言われる奴だっていうのは聞いた事があるのですが、使い方がイマイチ分からないのです
この近似の使い方をお教えください
お願いします

お礼日時：2018/01/25 11:22

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2018/01/25 09:00

e^π > e^3.1 = (e^3)(e^0.1) = (e^3)(1+0.1+0.01/2+...) > (e^3)(1+0.1) > 1.1(2.7^3)

なので、
　　1.1(2.7^3) > 21
を言えたら十分なのだが、ここでもし電卓が使えるのなら、そもそもご質問が意味をなさない。だからあとは筆算でがんばれ。

この回答へのお礼

II行目の
(1+0.1+0.01/2...)
はどっから出てきたのですか？教えてください。

お礼日時：2018/01/25 10:01

No.2 回答者： コルナゴ 回答日時： 2018/01/24 01:00

こんなんでどうですかねー？1時間かけてこれしか思いつかないのですが

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/01/24 00:55

π>3.1 なので、取り敢えず

e^π>e^3.1>((((((3.1/6)+1)×3.1/5+1)×3.1/4+1)×3.1/3+1)×3.1/2+1)×3.1/1+1)≒21.33>21

なんていうのはダメですかね? e^x は収束が速いので6項でもこの程度はいけます。
因みに、iPhone の電卓で計算すると

e^π≒23.14069263277927
です。