数学I

すべてのxにたいしてx^2+(m-1)x+1≧0が成り立つようなmの値の範囲を求めよ
この解説はf(x)=x^2+(m-1)x+1とおいて、f(x)=(x+(m-1)/2)^2-m^2/4+m/2+3/4としていたのですが
私は判別式D≧0としてといたのですがのDで考えてもいいんですか？
それとも解説の方法じゃないとダメですかね？

質問者からの補足コメント

• すいません。D≧0ではなくD≦0です。

    補足日時：2024/04/09 02:38

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 14:53

No.4 です。

問題は逆のことを求めていましたね。

#4 の
「ですから
　y = f(x)
のグラフと x 軸とが交点または接点をもつためには、頂点の y 座標が
　-m^2/4 + m/2 + 3/4 ≦ 0
であればよいわけです。」

は、この問題の場合には逆で

「ですから
　y = f(x)
のグラフと x 軸とが異なる２つの交点をもたない（接点ならよい）ためには、頂点の y 座標が
　-m^2/4 + m/2 + 3/4 ≧ 0
であればよいわけです。」

ということですね。

これを、正負を逆にして 4倍すれば
　m^2 - 2m - 3 ≦ 0
です。
これが、判別式
　D = (m - 1)^2 - 4 ≦ 0
と同じものを表わしてということです。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 14:48

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞判別式D≦0でグラフの頂点がy=0以上でなければならないと考え、D=0で接するときと、D<0でグラフがx軸に接しないときで考えました。

はい、それでよいです。

f(x) = x^2 + (m - 1)x + 1
　　= [x + (m - 1)/2]^2 - m^2/4 + m/2 + 3/4

ですから
　y = f(x)
のグラフと x 軸とが交点または接点をもつためには、頂点の y 座標が
　-m^2/4 + m/2 + 3/4 ≦ 0
であればよいわけです。

これは、正負を逆にして 4倍すれば
　m^2 - 2m - 3 ≧ 0
です。
これが、判別式
　D = (m - 1)^2 - 4 ≧ 0
と同じものを表わしていることが分かりますか？

つまり「判別式」と「グラフの頂点の位置」とは、同じものを「数式」で判断するか「グラフ」で判断するかの違いだけで、同じものなのです。
それを理解すれば「解説の方法じゃないとダメですかね？」といっているのが、「解説の方法」も「あなたの方法」も同じものだということが分かると思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/09 13:49

この質問↓の回答にも書きましたが、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13782889.html
二次式の平方完成と判別式は密接に関係し、
表裏一体の関係にあります。

f(x) = ( x + (m-1)/2 )^2 - (m^2 - 2m - 3)/4 の定数項が
判別式 D = (m-1)^2 - 4 を使って -D/4 と書けますね？
f(x) の最小値の正負を考えることと
D の正負を考えることは(符号は逆転していますが)同じことなのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 09:28

No.1 です。

「補足」について。

＞D≧0ではなくD≦0です。

それでは、なぜ「D≦0」を使えばよいと考えたましたか？

この回答へのお礼

すべてのxにたいして成り立つようにするには
判別式D≦0でグラフの頂点がy=0以上でなければならないと考え、D=0で接するときと、D<0でグラフがx軸に接しないときで考えました。

お礼日時：2024/04/09 14:35

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/08 23:09

＞私は判別式D≧0としてといたのですがのDで考えてもいいんですか？

どうして、それで求まると考えましたか？

x^2 + (m-1)x + 1 = 0 が成り立つようなmの値（の範囲）ならどうなりますか？
x^2 + (m-1)x + 1 > 0 が成り立つようなmの値の範囲ならどうなりますか？

この回答へのお礼

補足にものせましたがD≧0ではなくD≦0と考えました。誤字がありすいません。

お礼日時：2024/04/09 02:39