数学I y=x^2-2ax+aのグラフとx軸との位置関係をaの値によって分類した答えよ という問題で

数学I

y=x^2-2ax+aのグラフとx軸との位置関係をaの値によって分類した答えよ

という問題で解説には平方完成をして-a^2+aが頂点の
y座標として出てくるので-a(a-1)で>0,=0,<0で
場合分けしていました。

-a(a-1)>0 0<a<1のときx軸と共有点を持たない
-a(a-1)=0 a=0,1のときx軸と接する
-a(a-1)<0 a<0 1<aのとき異なる2点で交わる

となっていたのですが、なぜ交わるとかの判断が出来るのかよく分かりません。教えて欲しいです。

またこの問題でD=4a^2-4a=4a(a-1)で場合分けはしてはいけないんでしょうか？

この問題の解説とDを使っていいのか、回答お願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/09 13:15

D を使っていいのか、も何も...

-a(a-1) の正負で場合分けするのと
4a(a-1) の正負で場合分けするのは、同じことだと思いませんか？

この一致は偶然ではなく、判別式はもともと
Ax^2 + Bx + C = 0 を (x + B/2A)^2 = (B^2 - 4AC)/4A^2 と
平方完成したときの右辺の分子を取り出したものなので、
y = Ax^2 + Bx + C を y = A(x + B/2A)^2 - (B^2 - 4AC)/4A と
変形したときの定数項 -D/4A すなわちグラフの頂点の y座標
とは表裏一体の関係にあるのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/08 23:05

＞なぜ交わるとかの判断が出来るのかよく分かりません。

x^2 - 2ax + a = 0 って、
　y = x^2 - 2ax + a
のグラフと
　x軸つまり y=0
の「交点」の x 座標を求めるということです。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/09 02:42

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2024/04/08 22:31

判別式Dを使っても答えは同じになりますよ。

頂点が>0,=0,<0 のどの位置にあるかを言い換えれば、

①：>0・・・ｘ軸の上
②：=0・・・丁度ｘ軸上
③：<0・・・ｘ軸の下

この条件を満たすaを求めることになります。


①a=1/2=0.5
②a=0
③a=2

と条件を満たす具体的な数字を入れてみると画像のようになります。

この回答へのお礼

Dでもいいってことですよね。ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/09 02:42