No.2ベストアンサー
- 回答日時:
この問題を解くポイントは、軸です。
f(x)=2x^2-6x+7
=2(x-3/2)^2+5/2
に直すことで、軸の座標が(3/2,5/2)であることが分かります。
a≦x≦a+1 という条件があるので場合分けすると
・xが3/2を含まず超えない ----(1)
・xが3/2を含む ----(2)
・xが3/2を含まず超える -----(3)
の3通りが考えられます。
(1)の時⇒a<1/2 (∵a+1<3/2)
M=f(a)
(2)の時
ですが、2次関数のグラフは書いてみたら分かる通り、軸に関して対称なのでそこに注意してみると、f(a)=f(a+1) になるときは、軸のx座標が3/2であることから、(a+a+1)/2=3/2 ---*を解いて a=1がでます。
*の計算がピンとこないならそのまま f(a)=f(a+1) をといて a=1 を出してもいいです
(2)--1 ⇒a=1のとき
M=f(1)=f(2)=3
(2)--2 ⇒1/2≦a<1(∵a<1,a+1≧3/2)
この時(2)---1と違ってa と a+1 の中点は軸のx座標より左側にずれるので、
M=f(a)
(2)---3 ⇒1<a≦3/2(∵a≦3/2,a+1>2)
この時(2)---1と違ってa と a+1 のx座標の中点は軸のx座標より右側にずれるので、
M=f(a+1)
(3)の時⇒ a>3/2
M=f(a+1)
-----------------
基本は
(1)
(2)---1,2,3(1は2か3のどちらか一方かどっちともに加えていい。⇒ここで説明するためにさらに場合わけしたものなので)
(3)
の4つの場合分けで考えます。(2)の軸のちょうど真ん中と右側と左側の3つの場合分けができれば解けるはずです。
-----------------------------
Mの最小値はグラフを見てわかる通り軸のy座標の 5/2 ですね^^
このf(x)のグラフが下に凸であることから分かります。
No.3
- 回答日時:
こんなのは、グラフを書きながら進めると良い。
f(x)=2(x-3/2)^2+5/2とし、最大値をM とする。f(x)は下に凸の2次関数で、軸(=3/2)が動かないのだから、a+1 と a とが軸とどういう位置関係になっているかを考えるだけ。
(1)a+1≦3/2の時、M=f(a)=2a^2-6a+7
(2)a≧3/2の時、M=f(a+1)=2a^2-2a+3
(3)a≦3/2≦a+1の時、Mはf(a)とf(a+1)の大きいほうが最大値。
従って、f(a+1)-f(a)=4(a-1)であるから、
1≦a の時、M=f(a+1)=2a^2-2a+3
a≦1の時、M=f(a)より、M=2a^2-6a+7
以上を纏めて、a-Mのグラフを書くと、Mの最小値は自動的に求められる。
No.1
- 回答日時:
f(x)が下に凸になる事は分りますよね。
ですからf(x)が極小値となるxの値がaとa+1の間に挟まる様に場合分けをします。
もう少し付け加えれば、f(x)が極小値となるxがa+(1/2)となるような場合が最大値Mの最小値になります。
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