A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
とりあえず、二次方程式 4x^2-2mx+n=0 が解を2つ持たないと
「2解がともに」とはならないし、「0<x<1」なら実数解ですから、
4x^2-2mx+n=0 が2つの実数解を持つ条件 D = m^2 - 4n > 0
が必要条件ですね。
この条件の下に、二次方程式の2つの解は x = (m ± √D)/4 であり、
(m - √D)/4 < (m + √D)/4 が成り立ちますから、
「2解がともに0<x<1に含まれる」条件は
D > 0 かつ 0 < (m - √D)/4 かつ (m + √D)/4 < 1 です。 …①
こちらは、問題の必要十分条件になっています。
不等式を解いて m,n を求めましょう。
①は D > 0 かつ √D < m かつ √D < 4 - m と変形でき、
D > 0 かつ m≧0 かつ D < m^2 かつ 4-m≧0 かつ D < (4 - m)^2 とも同値です。
D = m^2 - 4n を代入すると
8m - 16 < 4n < m^2 かつ 0 < 4n かつ かつ 0 ≦ m ≦ 4 と整理できます。
n が自然数なので 0 < 4n は自明であり、
m の候補は 0, 1, 2, 3, 4 です。
これらの m に対して、
m = 0 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす n は無い。
m = 1 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は無い。
m = 2 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は 無い。
m = 3 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は 無い。
m = 4 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす n は無い。
ので、答えは「そのような m,n は存在しない」になります。
No.4
- 回答日時:
No.2 です。
問題文の「2解がともに0<x<1に含まれるような」を「異なる2解」と解釈するか、「重解も含めて2解と呼ぶ」と解釈するかで答が変わりますね。
#3 さんの答は「重解も含めて2解と呼ぶ」とする解釈ですね。
No.3
- 回答日時:
f(x)=4x^2-2mx+n=0
の2解を0<α<1,0<β<1とすると
4x^2-2mx+n
=4(x-α)(x-β)
=4x^2-4(α+β)x+4αβ
m=2(α+β)<4
1≦m≦3
n=4αβ<4
1≦n≦3
D/4=m^2-4n≧0
4n≦m^2
4n≦9
n≦9/4=2+1/4
n≦2
4≦m^2
2≦m
f(1)=4-2m+n>0
2m-4<n
2m-3≦n
2m-3≦2
2m≦5
m≦5/2=2+1/2
m≦2
∴
m=2
4n≦4
n≦1
∴
n=1
m=2
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
どうやら、二次方程式の解と、二次曲線のグラフの「交点」や「頂点の位置」の関係を勉強しているところのようですね。
お示しの問題も、
y = 4x^2 - 2mx + n
という二次曲線(放物線)と
y = 0
つまり「x 軸」との「交点」を求める問題です。
ここでの問題は
y = 4x^2 - 2mx + n
というグラフが
・x 軸と 0<x<1 の範囲で交わる
という条件ですね。
これを「平方完成」すれば
y = 4(x - m/4)^2 - (1/4)m^2 + n
つまり、頂点の座標は
(m/4, -(1/4)m^2 + n)
なので、「x 軸と2点で交わる」ためには「頂点の y 座標が負」であればよいことが分かります。
その
-(1/4)m^2 + n < 0
という条件が、正負をひっくり返せば
(1/4)m^2 - n > 0
16倍すれば
4m^2 - 16n > 0
となって「判別式 D>0」だということが分かりますか?
そして、x 軸と 0<x<1 の範囲で交わるということは、「下に凸」の方無州線なので
・軸(頂点の x 座標)は 0 < m/4 < 1 の範囲にある
・x=0, 1 のとき y>0 である
ということも分かりますね。
こういった条件から、m, n の満たす範囲が決まります。
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