リーマン＝スティルチェス積分の計算について質問です。 φ(x) := |x| とする。 ∫(-1→1

リーマン＝スティルチェス積分の計算について質問です。
φ(x) := |x| とする。
∫(-1→1) e^x dφ(x) を求めよ。
dφ(x)をどう計算すれば良いのかわかりません。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/31 19:19

∫[-1,1] e^x dφ(x)

= ∫[-1,0] e^x dφ(x) + ∫[0,1] e^x dφ(x)
= ∫[-1,0] e^x d(-x) + ∫[0,1] e^x d(+x).
2行目から 3行目へは、-1≦x≦0 と 0≦x≦1 の範囲で
それぞれ φ(x) の定義がどうなってたかを思い出せばわかる。

問題は、 3行目のスティルチェス積分
∫[-1,0] e^x d(-x) や ∫[0,1] e^x d(+x) と
普通のリーマン積分 ∫ e^x dx の関係だが...

スティルチェス積分の定義↓を参照すれば、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC …
∫ e^x d(-x) = -∫ e^x dx
∫ e^x d(+x) = ∫ e^x dx
であることは自明だと思う。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/31 13:22

φ(x):=|x|

∫(-1→1) e^x dφ(x)
=∫(-1→0) e^x dφ(x)+∫(0→1) e^x dφ(x)

t=-x
とすると
dt=-dx
t=1～0
だから

=∫(0→1) e^(-t) dt+∫(0→1) e^x dx
=[-e^(-t)](0→1)+[e^x](0→1)
=1-e^(-1)+e-1
=e-e^(-1)