内積の ・内積あるいはエルミート内積の性質、x, y, z ∈ V および λ ∈ ℂ を任意として

内積の
・内積あるいはエルミート内積の性質、x, y, z ∈ V および λ ∈ ℂ を任意として第一変数に関する線型性: ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩;
と
線型の
・写像 f の線型性質の、f について
加法性：任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)
斉次性（作用との可換性）: 任意の x, α に対して f (αx) = αf(x)
を比べたときに内積の線型性に二番目の線型性がちゃんと当てはまってますかね？斉次性の方は係数を外に出せてますから分かりますが、加法性は多項式を分離してるだけに思えますが、内積の線型性では多項式を分離してますが、zというものをくっ付けて分離してるので同じではない気がします。
このzは「複素数体 ℂ 上のベクトル空間 V 上で定義された二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → ℂ が内積あるいはエルミート内積であるとは、x, y, z ∈ V および λ ∈ ℂ を任意として」といっているので変数ではない定数ベクトルということだと思いますが、くっ付けるものがあるとないでやはり形が違うと思えます。どうなのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/26 13:26

f(v) = ⟨v, z⟩ という関数を考えると、

⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ という式は、ちゃんと
f(λx + y) = λf(x) + f(y) になってるでしょ。
ここで、
λ = 1 を代入すれば f(x + y) = f(x) + f(y) だし、
y = 0 を代入すれば f(λx) = λf(x) + 0 になってる。

⟨v, z⟩ に z がついてるのが気になるというけど、
二次関数 ax^2+bx+c に a,b,c がついてても
普段気にしてないじゃない。それと一緒。