∫1/lnxdx について

前回、前々回に続いて、1/lnxの積分についての疑問です。(ln：自然対数)
∫1/lnxdx　をx=2から例えば10まで計算するとして、部分積分を使い級数展開の形にして、そのxに２と１０を代入して、引き算するという計算をするとどうなるのか？ということが疑問でした。
つまり、∫1/lnxdx=∑(m-1)!x/((lnx)∧m)…　m=1~∞　…①　という①式のxに２と１０を代入し、
①x＝10ー①x=2として計算すると、無限大に発散するのではないか？という疑問でした。(この場合のΣはあるx値においてmを１～∞まで和をとるという意味)
寄せられた回答には、x=2でも１０でも式の値が∞になってしまうため∞ー∞で不定というものがありました。mがどんどん大きくなると、x=２のマイナスがx=１０のプラスを大きく凌駕していくことからー∞ではないかとも思えるのですが。
どちらにしても、ある有限の値には収束しない点では同じでしょう。しかし、繰り返しになりますが、これはx=2~10の区間で、1/lnxの曲線とx軸に挟まれた部分の面積であるとする定積分の面積解釈では、何らかの有限な値になるとしか考えられないのです。
実際、この定積分を計算過程まで示してくれるあるサイトを利用して計算すると、約5.12という値になるらしいです。その計算のほんの一部を紹介すると、
Γ(0,-ln2)-Γ(0,-ln10)+ln(-ln2)-ln(-ln(10)+… (Γ；不完全ガンマ関数)　…②　
のような式で計算するようです。ほんの一部でしかありませんが、結構、複雑な計算過程になりそうだという雰囲気は伝わると思います。断っておきますが、この計算方法を人に説明できるほど理解しているわけではありませんし、もし、そうなら、今更ここで疑問を提示することもないでしょう。
疑問なのは、①式での部分積分による級数展開は②式に比べても、数学的に同等な正当性を持っていると思えるのに、どうして、真逆ともいえる結果になってしまうのか？ということなのです。
確かに、定積分の面積解釈では有限な値になるだろうし、その点で、②式のほうが適切であるとは判断できるのですが…。恐らく、∞ー∞で不定という意見を寄せられた方も、このことは知っていて、だから、この計算では単純な部分積分による級数展開は不適切なのだということを指摘したかったのでしょう。問題なのは、どうして一見、同じ正当性を持っていると思える①式なのに少なくとも単純にストレートに適用したのではだめなのか？ということなのです。
この疑問はこの場のレベルを超えているかも知れません。どうしても知りたければ自分で勉強しろとなるかもしれませんね。（そう思うんだったら、質問するなよ、という声が聞こえてきそうですが）
このような、ある事柄について、証明であれ、計算であれ２つのアプローチ方法があり、一見すると同等の正当性を持っているように見えるのに、真逆の結論になってしまうことが数学においては、たまにあるようです。
例えば、集合論で空集合φが任意の集合sの部分集合になっていることを示すのに次の方法がとられることがあるようです。
③：x∉s→x∉φ(φは空集合から)　対偶をとって　x∈φ→x∈s
しかし、これと逆のやり方もできそうです。
④：x∈s→x∉φ(φは空集合から)　対偶をとって　x∈φ→x∉s
③も④も一見、同等の正当性を持っているように見えますが、結果は逆です。そして、採用されるのは③です。④を採用すると、色々と困ったことが起こる。例えば、s∩φ＝φとかA≠Bの集合A,Bで
A∩B=φといったことが一般に言えなくなる恐れが出てくると思われます。④を採用する集合論も構築できるかもしれませんが、何かと問題が起きてその度に対処せねばならず、その割に得られる収穫は少ないでしょう。どうせ、同等の正当性を持っているなら、都合がよく便利で得られるものも多そうな③
を採るのは当然と言える。
数学も、つまるところ、人のプレイするゲームともいえるから、どうせなら、面白くて益するところも大きいほうがいいというところですか。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/22 09:32

その部分積分による級数展開するのは有限回のみ有効で∞回行うのは部分的に発散するので正当ではありません

Li(x)≔∫1/lnx dx

の正当な級数展開は画像の通り

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/20 11:19

∫(1/lnx)dx

を①式での部分積分による級数展開するのは

x→1のとき　全ての項{x/(logx)^k}が発散するから

正当ではありません

t=lnx
と置いて
e^t=x
e^tdt=dx

∫(1/lnx)dx=∫(e^t/t)dt

e^tをマクローリン展開すると

e^t=1+t+t^2/2+t^3/3!+…

e^t/t のt=0でのローラン展開は

e^t/t=1/t+1+t/2+t^2/3!+…


∫(1/lnx)dx
=∫{(e^t)/t}dt
=∫{1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!}dt
=ln(t)+Σ{n=1～∞}t^n/(nn!)
=ln(lnx)+Σ{n=1～∞}(lnx)^n/(nn!)
=ln(lnx)+lnx+(lnx)^2/4+(lnx)^3/(3*3!)+(lnx)^4/(4*4!)+…

x→1のとき初項ln(lnx)以外の項はすべて0に収束するから
この
方法が正当なのです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 19:38

訂正します

その部分積分は発散するようにみえるけれども発散するとはいえません

①x=S(m)+R(m+1)

S(m)=Σ{k=1～m}(k-1)!{x/(lnx)^k}

とすると

m項の和
S(m)は
lim{m→∞}S(m)=∞　に発散するのだけれども

剰余項
R(m+1)が
lim{m→∞}R(m+1)=-∞に発散するから

①x=∞-∞

不定形になるので発散するとはいえません

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 14:55

1/lnx

は
x=0とx=1の2つの特異点を持つから
①式での部分積分による級数展開は
x=0を中心とする展開だから
2～xまでの積分を表すのには
正当ではありません

t=lnx
とすると

x=e^t
dx=(e^t)dt

∫{2～x}(1/lnx)dx
=∫{ln2～lnx}(e^t/t)dt

t=ln2～lnx
e^t=Σ{n=0～∞}(t^n)/n!

(e^t)/t
=Σ{n=0～∞}t^(n-1)/n!
=1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!
だから

∫[2～x](1/lnx)dx
=∫[ln2～lnx]{(e^t)/t}dt
=∫[ln2～lnx]{1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!}dt
=
[lnt][ln2～lnx]+Σ{n=1～∞}{t^n/(n*n!)}[ln2～lnx]
=
ln(lnx)-ln(ln2)+Σ{n=1～∞}{(lnx)^n-(ln2)^n}/(n*n!)}

はx≧2に対して
有限の値になります

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/19 14:43

前回の質問で答えていたものです。

あの回答は完全に間違いでした。申し訳ありません。

今回の質問の回答ですが、まず①が間違っています。
前回の質問で答えたのは①の後に必ず積分項が出てきてそれは無視できないとしました。そのことは間違いではないのですが、結果はまるで逆でその積分項はnを大きくするとプラスの無限大に発散します!!ここのところで完全に間違っていました。
2<x<eの部分の寄与がmを大きくするととても大きくなり、全体の積分を発散させます。領域の幅は有限の大きさですが、積分する関数の値自体が無限大に発散します。

で、あとは簡単ですね。
質問者のおっしゃられるように①の右辺はm→∞で-∞に発散します。
でも、部分積分ででてくる積分項はmを大きくすると＋∞に発散する。そのため無視することはできない。
質問者がやっていることは
1=1+(-2+2)+(-3+3)+(-4+4)+...=1-2-3-4-...+(2+3+4+..)
と変形して、最後の()を勝手に消してマイナスの無限大に発散する、と言っているのと同じです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 14:17

1/lnx

は
x=1で定義できない
x=0で定義できないのです

①x＝10
の値は
0から10までの積分の値なのだから
その間にx=0とx=1があるのだから
発散するのは当然なのです

①x=2
の値は
0から2までの積分の値なのだから
その間にx=0,x=1があるのだから
発散するのは当然なのです

①式での部分積分による級数展開は正当ではありません

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/19 13:04

④：x∈s→x∉φ(φは空集合から) の対偶 ⑤：x∈φ→x∉s は、

→ の性質「P が偽ならば P→Q は真」によって x∉φ と同値になる。
都合がいいとか、便利だとか、得られるもの多そうとかではなく、
④ の内容を正しく理解すればいいだけ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/19 12:47

①式の中にある「=」って, どういう意味なの?