写真のように

iのi乗 (iは√-1)
をもとめたんですけど、どうしてe^ilogiと経由すればいいんですか？？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/30 21:20

任意の複素数 z について、 z = e^(log z) が成り立つからです。

右辺に登場する 複素log は多価関数ですが、その多価性が
複素e^ の周期性で打ち消されて、log の枝選択によらず
任意の z について、 z = e^(log z) が成り立ちます。

そこへ z = i^i (i^ が多価関数のため、i^i も多価定数ですが) を
代入すると、 i^i = e^(log(i^i)) = e^(i log i) となります。
log i の値のひとつを LOG i とすると、log の多価性により
i^i = e^(i log i) = e^{ i (LOG i + 2πin) }　； n は任意の整数

オイラーの公式より e^(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = i なので
LOG i = iπ/2 となるように LOG をとることができ、
i^i = e^{ i (LOG i + 2πin) }
　= e^{ i (iπ/2 + 2πin) }
　= e^ -(π/2 + 2πn)
　= 1/{ e^(π/2) ・ (e^(2π))^n }
です。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/30 19:00

nを任意の整数とすると

i=e^{i(4n+1)π/2}

i^i=e^{-(4n+1)π/2}

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/30 17:13

i=e^(iπ/2)

i^i
={e^(iπ/2)}^i
=e^(iiπ/2)
=e^(-π/2)

この回答へのお礼

シュチで出したら、それはそうですけど、質問に書いたことについてはどうですか？

お礼日時：2024/06/30 17:43