超関数の説明で「このときeqは… φ に関して線型かつ連続に変化する実数」は〈〉の中に二つ文字がある

超関数の説明で「このときeqは… φ に関して線型かつ連続に変化する実数」は〈〉の中に二つ文字があるので実数の組ではないのでしょうか？それとこの〈〉は何を表しているのでしょうか？
普通の()とは違いブラケット記法みたいなカッコですよね？

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/07/06 19:05

<f, g> は関数 f と g の内積です。

<f, f> はですから関数 f のノルム（の二乗）と呼ばれます。すべてユークリッド幾何の拡張です。内積がゼロになる関数同士を直交していると呼びます。フーリエ級数は御存じですよね。なぜあんなに簡単にフーリエ係数が求められるかというと，固有関数（直角座標系だと三角関数，極座標系だとベッセル関数，球座標系だとルジャンドルの多項式）は，ある適切に定義された内積で直交性を確認できるものんですから，直交関数列と呼ばれます。この直交性があるからこそ，フーリエ級数があんなに簡単に求められます。超関数というのは，例えばディラックのデルタ関数 δ(t-t0) は，いわゆる関数ではありません。そんな定義が成立しないからです。そこである試験関数 (test function) を乗じた内積でしか定義できないのが超関数 (distribution) と呼ばれます。例えばδなら

∫ δ(t-t0) Φ(t) dt = Φ(t0)

という関係で初めて定義されています。Φが試験関数です。無限個の関数列がお互いに直交していることは，とても重要な概念です。物理系の例を挙げるとしたら，いわゆる衝撃荷重 f(t)=F δ(t-t0) と定義でき，その定義は力積が

∫ f(t) dt= F

ということから物理的な意味がわかるわけです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/06 15:47

fはRからRへの関数

φはRからRへの関数

<f,φ>の中の二つ文字f,φは関数なので、関数の組

<f,φ>=∫{R}fφdx
は
fφの積分値(実数値)だから
fとφの内積のようなもの

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/06 14:41

どうして「実数の組」と考えるのかわからんなぁ. 右辺は「1つの実数」でしょ?