我が家の新築の豪邸にネズミが出ました。ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。

我が家の新築の豪邸にネズミが出ました。ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。
はなれたところから観察していると、ネズミは床に落ちたフラフープに沿って激しく反時計回りに等速円運動しています。
ペットがおり殺鼠剤を撒けないので、フラフープめがけネズミが嫌がる香りのアロマオイルを一滴ブッかけようと思います。
はなれたところからアロマオイル一滴をブッかけるので、狙うことはできません。フラフープの周上の一点に無作為にアロマオイルが付着します。
ネズミはアロマオイルの付着した箇所から勢いを維持したままその箇所におけるフラフープの接線を直進し壁まで逃げるものと予想されます。
そこで、あらかじめ壁に粘着テープを貼っておき、逃げてきたネズミを捕獲しようと思うのですが、ネズミを捕獲する確率を最も高めるには、粘着テープをどこに貼ればよいでしょうか？

当然ながら、数学カテゴリで質問しておりますので、数学的に根拠のある回答をよろしくお願いします。

もちろん、粘着テープを貼る位置を表現される際は、
フラフープをx^2+y^2=1、壁をx=a(≧1)、粘着テープの長さをd(>0)
として回答していただいてもかまいません。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/13 19:51

アロマオイルがフラフープ上 (x,y) = (cosθ,sinθ) の点に付着したとして、

逃げるネズミの進路は (x,y) = (cosθ,sinθ) + t(-sinθ,cosθ) ；ただし t ≧ 0.
これが壁と交わるのは cosθ + t(-sinθ) = a となる点で、
t = (cosθ - a)/sinθ. そうなる t が存在する条件は sinθ < 0 である。
このとき、交点の y 座標は y = sinθ + t(cosθ) = (1 - a cosθ)/sinθ になる。

条件 (1 - a cosβ)/sinβ - (1 - a cosα)/sinα = d の下に
β - α が最大になるような α, β を求めればよいが、
β - α = δ と置いて β を消去すると
(1 - a cos(α+δ))/sin(α+δ) - (1 - a cosα)/sinα = d の下に　←[＊]
δ を最大化する問題となる。

[＊] を α で微分して dδ/dα = 0 となる点を見つければ
δ の極大値が求められそうだが... めんどくせ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/08/04 12:44