Wikipediaのシュワルツ超関数の「緩増加超函数とフーリエ変換」の節を読むと、「緩増加超函数 テ

Wikipediaのシュワルツ超関数の「緩増加超函数とフーリエ変換」の節を読むと、「緩増加超函数 テスト函数の空間をより大きく取り直すことにより、D′(Rn)の★部分空間を成す緩増加超函数 (tempered distribution) が定義される。」とありますが、その二つ次の節「連続関数の微分としての超関数」の節では「一般論として、超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み微分に関して閉じているような真の★部分集合は存在しない。このことが示すのは、超函数の中に取り立てて奇妙な対象は含まれておらず、ただ必要に応じた複雑さを持っているだけであるということである。」とあります。部分空間は定義できるけど部分集合は存在しないとはどういう意味なのでしょうか？空集合と言うわけではないですよね？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 10:10

そのページの最初のほう、「シュワルツ超関数」という節に、

＞ U 上の超函数全体の成す空間は D’(U) で表される。
とありますね。 ひとつめの★がついた
「緩増加超函数 テスト函数の空間をより大きく取り直すことにより、
D’(Rn) の部分空間を成す緩増加超函数が定義される。」とは、
緩増加超函数がなす線型空間は Rn 上の超函数全体がなす線型空間
D’(Rn) の部分空間だということです。部分線型空間は、もとの線型空間の
部分集合でもあります。

ふたつめの★がついた
「超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み
微分に関して閉じているような真の部分集合は存在しない。」は、
D’(Rn) の真部分集合には、全ての連続函数を含み
かつ微分に関して閉じているようなものは無いと言っています。

緩増加超函数がなす集合は、微分については閉じていますが、
超函数全体のなかで連続なものを全て含んではいない
ために、特に矛盾はありません。

この回答へのお礼

分かりやすい説明助かりました。私の複数の質問にいくつも答えて下さり感謝します。ありがとうございました。

お礼日時：2024/08/09 13:36