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変数α, β が入っている「公式」を
f(α,β) = g(α,β)
としますと、その意味は「どんなα, βについてもf(α,β) = g(α,β)である」ということ。つまり公式は恒等式であり、「左辺と右辺は全く同じものだ」と言っている。全く同じなんだから、左辺の導関数と右辺の導関数も当然同じです。たとえば
∂f(α,β)/∂α = ∂g(α,β)/∂α
である。そしてこれもまた左辺と右辺は全く同じもの。どんなα, βについても成り立つので、恒等式です。全く同じなんだから、左辺の導関数と右辺の導関数も当然同じです。たとえば
∂²f(α,β)/(∂α∂β) = ∂²g(α,β)/(∂α∂β)
である。そしてこれもまた恒等式であり、左辺と右辺は全く同じもの。ですから… 以下同様。
なお、もし式
f(α,β) = g(α,β)
が公式(=恒等式)ではなくて方程式である場合には、その意味は「あるα, βにおいて、この式が成り立つかもしれない」ということ。ご承知の通り、この式が成り立つようなα, βのことをこの方程式の「解」と言う。つまり、左辺と右辺は別々のものであり、ただ、解においてだけ(いわば「たまたま」)同じ値になるに過ぎない。恒等式の場合とは全く事情が違います。
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