数学の問題が解けません

０≦ x ≦２πで定義される関数 f（x）＝sinx＋ ３cosx＋x について，次の問いに答えなさい。
（１） （f x）の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい。
この問題なのですが、添付している画像の通り解こうとしましたが、ここから進めません
私は何を間違っていますか？

質問者からの補足コメント

• f（x）＝sinx＋ ３cosx＋xではなく、f（x）＝sinx＋ √３cosx＋xでした

    補足日時：2024/10/01 21:35

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/02 11:13

画像の通り

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/02 10:50

No.6 です。

あなたの失敗は

x^2 = A

の方程式から得られる

　x = ±√A

をすべて解にしてしまったことです。

実は
　x = √A
だけが解で、
　x = -√A
は条件を満たさないので解ではない、というチェックを怠っています。

x = √A であって x ≠ -√A であるときにも、2乗すれば
　x^2 = A
になってしまいますからね。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/02 05:08

x=2π/3 のとき

f'(2π/3)
=cos(2π/3)-√3sin(2π/3)+1
=-1/2-3/2+1
=-2+1
=-1
≠0

x=2π/3のときf'(x)=0となりません

f(x)=2{(1/2)sinx+(√3/2)cosx}+x
f(x)=2{cos(π/3)sinx+sin(π/3)cosx}+x
f(x)=2sin(x+π/3)+x

f'(x)=2cos(x+π/3)+1

f'(x)=0となるxを探す

2cos(x+π/3)+1=0

cos(x+π/3)=-1/2

0≦x≦2π
π/3≦x+π/3≦2π+π/3=7π/3

x+π/3=2π/3,4π/3

x=π/3,π

x=0のとき　f(0)=√3

0<x<π/3 のときπ/3<x+π/3<2π/3
f'(x)=2cos(x+π/3)+1>0だから
f(x)は増加

x=π/3のとき　f(π/3)=√3+π/3

π/3<x<π のとき2π/3<x+π/3<4π/3
f'(x)=2cos(x+π/3)+1<0だから
f(x)は減少

x=πのとき　f(π)=π-√3

π<x<2π のとき4π/3<x+π/3<7π/3
f'(x)=2cos(x+π/3)+1>0だから
f(x)は増加

x=2πのとき　f(2π)=2π+√3

最大値f(2π)=2π+√3
最小値f(π)=π-√3

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/02 00:53

No.5 です。

ああ、あなたがやろうとしたことが分かった。

f'(x) = cos(x) - (√3)sin(x) + 1 = 0
より
　cos(x) = (√3)sin(x) - 1　　　　①
両辺を２乗して
　cos^2(x) = 3sin^2(x) - 2(√3)sin(x) + 1

cos^2(x) = 1 - sin^2(x) なので
　1 - sin^2(x) = 3sin^2(x) - 2(√3)sin(x) + 1
→　4sin^2(x) - 2(√3)sin(x) = 0
→　sin(x)[2sin(x) - √3] = 0

これを満たすのは
　sin(x) = 0 または sin(x) = (√3)/2
従って
　x = 0, π, 2π
　x = π/3, (2/3)π

ただし、途中で「２乗」しているので、等価になっているかを確認しないといけません。
このうち①を満たすかどうかを確認します。

・x=0 のとき
　cos(0) = 1
　(√3)sin(0) - 1 = -1
なので満たさない。

・x=π のとき
　cos(π) = -1
　(√3)sin(π) - 1 = -1
なので満たす。

・x=2π のとき
　cos(2π) = 1
　(√3)sin(2π) - 1 = -1
なので満たさない。

・x=π/3 のとき
　cos(π/3) = 1/2
　(√3)sin(π/3) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2
なので満たす。

・x=(2/3)π のとき
　cos((2/3)π) = -1/2
　(√3)sin((2/3)π) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2
なので満たさない。

よって、①を満たすのは
　x=π/3, π
ということになります。
これで #5 と同じ結果になります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/02 00:36

あなたは、f'(x)=0 となる x を求めるところが間違っていますね。

何をやっているのか、さっぱり分かりません。

極大・極小を求めるために、導関数を求めて

f'(x) = cos(x) - (√3)sin(x) + 1
　　= 2{(1/2)cos(x) - [(√3)/2]sin(x)} + 1
ここで
　sin(π/6) = 1/2
　cos(π/6) = (√3)/2
なので
f'(x) = 2{sin(π/6)cos(x) - cos(π/6)sin(x)} + 1
　　= 2sin[(π/6) - x] + 1
　　= 1 - 2sin(x - π/6)

極大・極小となる必要条件は f'(x)=0 なので
　f'(x) = 1 - 2sin(x - π/6) = 0
より
　sin(x - π/6) = 1/2

0 ≦ x ≦ 2π、つまり -π/6 ≦ x - π/6 ≦ (11/6)π の範囲では
　x - π/6 = π/6, (5/6)π
よって
　x = π/3, π

f''(x) = -sin(x) - (√3)cos(x)
なので
　f''(π/3) = -(√3)/2 - (√3)/2 = -√3
よって
　x = π/3 のとき f(x) は極大

　f''(π) = -0 - (-√3) = √3
よって
　x = π のとき f(x) は極小

これで増減表を作れば

x=0 のとき、f(0) = √3
0 < x <π/3 のとき、単調増加
x = π/3 のとき、 f(x) は極大で、極大値は
　f(π/3) = (√3)/2 + (√3)/2 + π/3 = √3 + π/3
π/3 < x < π のとき、単調減少
x = π のとき、 f(x) は極小で、極大小は
　f(π) = -√3 + π
π < x < 2π のとき、単調増加
x = 2π のとき、f(2π) = √3 + 2π

この増減表より、0 ≦ x ≦ 2π の範囲では
　f(0) > f(π)
　f(π/3) < f(2π)
なので
　x = π のとき、f(x) は最小で、最小値は -√3 + π
　x = 2π のとき、f(x) は最小で、最小値は √3 + 2π

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/01 21:54

（f x）ってなんでしょうか. Lisp?

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/10/01 21:22

変曲点だった（変換ミス）

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/10/01 21:20

写真は√3cosxだが、投稿では3cosx。

多分√3cosxだと思うけど・・・。

>>私は何を間違っていますか？
まだまだ続きが有る、と言う事。

増減表なら、f'(x)=0となるxについてf(x)の値を求めて書く。

f'(x)値が0と0の間の符号を書く。+なら右肩上がりのグラフで、-なら右肩下がりのグラフになる。

+の次も+、-の次も-なら挟まれた0は変極点。
+の次が-なら、挟まれた0は極大点。
-の次が+なら、挟まれた0は極小点。

これでグラフの概形が書けるから、それで最大最小が判定出来る。

この回答へのお礼

これ、極値を取るxの値とその求め方あってますか？

お礼日時：2024/10/01 22:01

No.1 回答者： ebigawasampo 回答日時： 2024/10/01 21:00

＞私は何を間違っていますか？

こういう問題を写真に撮ってそのままアップするのが間違いです。そのうち削除されます。