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No.7
- 回答日時:
高校範囲でも、
Σ[n=1→∞] a_n が収束するならば、その極限を S と置いて
lim[n→∞] a_n = lim[n→∞] Σ[k=1→n] a_k - Σ[k=1→n-1] a_k
= S - S
= 0.
その対偶をとれば、
lim[n→∞] a_n = 0 でないとき Σ[n=1→∞] a_n は収束しない
って話だけどな。
教科書にも、たぶん載ってると思う。
No.6
- 回答日時:
級数の極限 lim[m→∞]Σ[n=1→m]a_n が収束する時
lim[n=1→∞]a_n = 0
という意味だろうか?
高校の範囲では無理っぽいけど
大学生向けに説明してみます。
取り合えず、a_nを実数とすると
lim[n=1→∞]a_n = b なら、ある正の実数 ε にたいして
適当な N が存在して n > N を満たす全ての n で |a_n - b| < ε となる。
というのが収束する数列の極限の定義です。
b ≠ 0 の場合
ε < |b| となるように ε を選ぶと n > N では a_n の符号は変わらず、
その絶対値は必ず |b|-ε より大きくなるので、級数は発散します。
a_n が複素数の場合も成分で分けて考えれば
ほぼ同じ証明が使えます。
高校っぽく説明すると
a_n が ゼロでない b に十分近づくと
a_n を足す毎に級数は b くらい増えてしまうから
級数は増加あるいは減少を続けて収束しない・・・・・ かな。
なんとも怪しげな説明です(^^;
高校数学だとまっとうな説明は不可能かも。
No.5
- 回答日時:
>第n項が0以外に収束すると無限級数は発散すると言えるのですか?
これは言える。
>第n項は0に収束するけど無限級数は収束するとは限らないということは、無限級数が収束するとき第n項は0以外に収束するとは言えないということですか?
これは何が聞きたいのでしょうか?
美人だけど結婚できるとは限らないということは、結婚できる人はブスとは言えないということですか?
みたいな感じの質問ですけど、あなたならなんて答えるの??
No.3
- 回答日時:
収束する級数 ⊂ 項が0に収束する級数 ⊂ 項が収束する級数
ってだけの話だよ。発散するってのは、収束しないってことだから、
発散する級数 ⊃ 項が0に収束しない級数 ⊃ 項が発散する級数
でもあるね。
No.2
- 回答日時:
いちおうほそくしておくと
「各項が 0 に収束する」わけではない→級数は発散する
は (「発散する」=「収束しない」と解釈して) 真で
各項が 0 に収束する→級数は収束する
は偽.
No.1
- 回答日時:
「級数が収束する→各項は 0 に収束する」は真.
でもって「各項が 0 でない値に収束する→級数が発散する」も真. シンプルには
全ての項が 1 であるような級数
を考えてみるといい.
なお「0以外に収束する」を否定したときに「0 に収束する」にはならないことにも注意だ.
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