二次不等式

y=x^2-4x+3＞0 の範囲は x<1, 3<x となるのはなぜですか。

y=x^2-4x+3 > 0 で
（x-1)(x-3) >0 だから

x-1 > 0
x > 1

x-3 > 0
x > 3 で

x > 1 とはならないのですか。

yについて考える筈が、xだけに目を奪れているからでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/04 13:00

＞（x-1)(x-3) >0 だから

はい。
なので

(a) x - 1 > 0 かつ x - 3 > 0　（どちらも正）

または

(b) x - 1 < 0 かつ x - 3 < 0　（どちらも負）

のときに成立します。

(a) は、1 < x かつ 3 < x ですから、「かつ」の範囲は
　3 < x

(b) は、x < 1 かつ x < 3 ですから、「かつ」の範囲は
　x < 1

なので、最終的な解は
　x < 1 または 3 < x
ということになります。

検算してみれば、たとえば
　x = 2
のときには

　x^2 - 4x + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

ですから、与えられた不等式は成立しません。
つまり「x = 2 は解ではない」ということです。


＞yについて考える筈が、xだけに目を奪れているからでしょうか。

いいえ。
「正の場合」だけしか考えていないので、「負の場合も考える」ということです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/10/04 14:46

「x > 1 とはならないのですか。

」→
それなら x=2 は 答えの範囲内になる筈ですよね。
問題の式に x=2 を代入すると y=-1<0 で 答えとしては不適ですよね。
つまり あなたの考えは、式全体を見ていないことになります。
（ x>1 と x>3 の両方に 当てはまるのは x>3 の方ですよね。）

x-1 と x-3 の積が 正 になるのですから、
x-1 と x-3 は 共に 正か負 の同符号になる筈ですよね。
x が実数なら 常に x-3<x-1 ですから、
x-3 が 正なら x-1 も必ず 正になります。→ x-3>0 → x>3 。
x-1 が 負なら x-3 も必ず 負になります。→ x-1<0 → x<1 。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/04 14:02

AB > 0 ってどんなとき？

AB > 0　⇔　(A > 0 かつ B > 0) または (A < 0 かつ B < 0)
ですよね。

これを (x-1)(x-3) > 0 にあてはめると、
(x-1)(x-3) > 0　⇔　(x-1 > 0 かつ x-3 > 0) または (x-1 < 0 かつ x-3 < 0)　
　　　　　　　⇔　(x > 3) または (x < 1)
になります。

(x > 1 かつ x > 3)　⇔　(x > 3)
であることは、解りますか？

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2024/10/04 12:40

（x-1)(x-3) >0 だから、

（x-1)と(x-3)をかけ合わせたら正の数になればよい
ということです。

そうすると、
1)　（x-1)と(x-3)の両方が正の数
2)　（x-1)と(x-3)の両方が負の数
ならばかけ合わせたら正の数になりますよね。