数学、物理が得意な方に質問です。 エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。 ただしエルミート多

数学、物理が得意な方に質問です。

エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。
ただしエルミート多項式の漸化式は使わないものとします。

∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n√π δ[m,n]

以下∫[-∞→∞を∫、δ[m,n]をδ、Hn(x)、Hm(x)をHn Hmと略します。

つまり、∫Hm Hn exp(-x^2)dx=2^n n√π δ

exp(2tx-t^2)=Σ[m,∞]Hm t^m /m!
exp(2sx-s^2)=Σ[n,∞]Hm s^m /n!とすると、


Σ[m,∞]Σ[n,∞]t^m s^n/(m! n!) ∫Hm Hn exp(-x^2)dx=Σ2^n √π t^n s^n/n!

m=nのとき


Σ[n,∞]Σ[n,∞]t^n s^n/(m! n!) ∫Hn Hn exp(-x^2)dx=Σ[n,∞]2^n √π t^n s^n/n!

左辺にΣ記号が2個ありΣが1個なら計算できます。2個ありどう処理したらいいかわかりません。

m≠nのとき

まったくわかりません。

3ヵ月ぐらい悩んでます。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2024/10/17 21:33

あぁ、後半は何の式が羅列されてるのか分からなかった(特にm=nの時の後の式)ので、読み飛ばしてましたが、

> Σ[m,∞]Σ[n,∞]t^m s^n/(m! n!) ∫Hm Hn exp(-x^2)dx=Σ2^n √π t^n s^n/n!

ここまでは自力で導出できたという事を言ってるのですかね。
(この式が正しいかは確かめてませんが#2の①と②を計算してもこういう式が出てくるはず)

貴方がどう求めたにせよ、この式が導出できてるという前提で良いのなら、あとは両辺のt^m s^nの係数を比較するだけ。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2024/10/17 17:31

とりあえず

∫ dx exp(-x^2) exp(2tx-t^2) exp(2sx-s^2)
をt,sについて展開したものを、
①解析解を求めてテーラー展開
②母関数の定義を当てはめてから項別積分

の2通りの方法で計算してt^m s^nの係数を比較すればよいのでは。

「漸化式を使わない」という謎の制約を加える意図が分からないので、こういうやり方でいいのか知りませんけど。

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2024/10/17 01:27

http://physnd.html.xdomain.jp/math/hermitepoly.pdf

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

漸化式を用いないと書いたのですが、みえませんでしたか。質問の回答になっていません。
gptの利用や、特定の分野に詳しくなく、ただ単語を検索しリンクを載せて回答のつもりになっている人が増えて困ってます。

お礼日時：2024/10/17 11:18