x>0のとき、(x+16/x)(x+1/x)の最小値を求めよ。 下の式はAさんが書いた回答である。し

x>0のとき、(x+16/x)(x+1/x)の最小値を求めよ。
下の式はAさんが書いた回答である。しかし、この問題の答えは間違えている。Aさんはどこで間違えたのか説明せよ。

x>0より16/x>0
相加・相乗平均の関係より
x+16/x≧2√x・16/x=8

x>0より1/x>0
相加・相乗平均の関係より
x+1/x≧2√x・1/x=2

よって、(x+16/x)(x+1/x)≧16

答え:16

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/02/23 15:09

前者の等号成立は　x=16/x → x=4

後者の等号成立は　x=1/x → x=1
で最小となる　xは両社で異なる。

正解は
(x+16/x)(x+1/x)=x²+16/x²+17≧8+17=25

x²+16/x²≧8 だから。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/23 17:52

＞ Aさんはどこで間違えたのか説明せよ。

＞ よって、(x+16/x)(x+1/x)≧16
までは正解。
この不等式は、成立する。

その後
＞ 答え:16
としたところに飛躍というか、間違いがある。

x+16/x≧8 の等号成立条件は x=4,
x+1/x≧2 の等号成立条件は x=1
なので、(x+16/x)(x+1/x)≧16 の等号は成立する x が無い。
最小値じゃないよね。

この間違いは、３項以上の相加相乗平均でよく目にする。

今回の問題の正解は、No.1 でいいんじゃない？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/23 16:41

(x+16/x)(x+1/x)≧16

だからといって
最小値が
16
となるとは限らない
(x+16/x)(x+1/x)=16になるようなxが存在するか?
確かめないで
答え:16
とした所で間違えた

x>0のとき

(x+16/x)(x+1/x)
=x^2+17+16/x^2
=(x-4/x)^2+25
≧25

x=2のとき
(x-4/x)^2+25=25
となるから
最小値は
25

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/02/23 15:43

(x+16/x)単独、(x+1/x)単独でお互いに独立してたら各々の最小値は8,2。

(x+16/x)(x+1/x)はお互いに同じx値で最小値を取らないと全体が最小値にはならない。

x+16/xが最小になる時のxは4。
(x+1/x)が最小になる時のxは1。
おとといの物同士を掛け算しても意味が無い。

で、質問するのに何故「せよ」と命令してるんだい？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/23 15:34

関数A(x）の最小値を a>0、関数B(x)の最小値を b>0 としたとき

A(x)B(x)の最小値が ab となる根拠がない。
そうはならない反例はいくらでも作れます。

同じxで最小値になれば成り立ちますが、x+16/x は x=4
x+1/x は x=1 で最小値になり使えません。

(x+16/x)(x+1/x)
= 17 + x^2 + 16/x^2 ≧ 17 + 8 = 25

この回答へのお礼

答えてくれたみなさんありがとうございました

お礼日時：2025/02/23 22:39