a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/08 16:50

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

a(-1) は定数係数
a(0) は　(z-π/2)の係数
a(1) は　(z-π/2)^2 の係数
…
だから
(z-π/2)の係数a(0)を取り出すのと
定数係数a(-1)を取り出すのとは違う

定数係数a(-1) は　tan z の z=π/2 における留数だけれども
(z-π/2)の係数a(0)　は　tan z の z=π/2 における留数ではない

ありものがたり様は

質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順だと
勘違いしているだけです

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/07 19:38

#8の方は

「
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順として正しい。
」
といっているけれども

#9に書いた通り

もし
質問文中の「方法」が、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順ならば
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から定数係数を取り出します。
」
であるはずなので

「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
という所が間違っているので

「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める」ことは間違いだけれども
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順としても間違いです

だから
すべて間違いです

この回答へのお礼

mtrajcp様、解答ありがとうございます。

>> 「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から定数係数を取り出します。
」


(z-π/2)の係数を取り出すのと定数係数を取り出すのとでは何が違うのでしょうか？

どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

>> すべて間違いです


こちらの質問に置いて、ありものがたり様から頂いた今までの解答やその解答に対する質問の解答もすべて間違えいると言う事でしょうか？

お礼日時：2025/01/08 16:21

No.22 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/07 18:47

←No.20 補足

＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」などが出てきますが、
＞ これはmtrajcp様から頂いた画像みたいな感じに
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」をして
＞ (z-π/2)の次数をずらしてf(z)=tan(z)の留数を質問文中の「方法」で求めた
＞ 解答と言う事でよろしいでしょうか？

後追いの回答と同じかどうかは、後追いの回答者に聞いたほうがよいのでは？
でも、文面からして同じだよね。


＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。
＞ となぜわかったのでしょうか？
↓
＞ これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。
↓
＞ No.15 の「その箇所」がどの部分なのかを教えて頂けないでしょうか。

これはもう、笑えばいいのか怒ればいいのか判らん。
オイタがすぎるよ。

No.15 に
＞ 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
＞ Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
＞ になっている。だから、
＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。
と書いた。
なぜわかったか、理由が直上の文に書いてあるね？

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 14:38

g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではない為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)は留数を持たない為

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いです

画像のやり方は、
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるものではありません

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数が0であることがわかった上で
g(z)をテイラー展開したものです

No.20 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/06 13:46

←No.17 補足

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めるならば
＞ mtrajcp 様から頂いたその他の解答や画像を載せた解答のやり方で
＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？

回答を読まずに補足質問をつけるのは、いかがなものかと思う。
No.17 には、
＞ lim[z→π/2] g(z) と (d/dz) g(z) を計算してみて、g(z) が z=π/2 で正則
＞ なことから「正則だから留数は 0」と書くだけ。言ったろ？
と書いた。なにを繰り返し繰り返し...


＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
＞ となぜわかったのでしょうか？

これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。
＞ 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
＞ Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
＞ になっている。だから、
だよ。 今回は、黒ヤギさんからお手紙ついた？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

確認としてありものがたり様から2025.1.4 10:07に頂いた解答の一部の

「Res[ tan z, z=π/2 ] を求める方法：
g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開して
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... となることから、
tan z の z=π/2 を中心とするローラン展開は
tan z = -1/(z-π/2) + 1/3 + ... です。
...
tan z の n 位の極 z=π/2 に対して
g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開すると
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... 。
g(z) を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) g(z) = { (n-1)(n-2)…1 }(-1) + { { (n-1)(n-2)…2 }(1/3)(z-π/2)^2 + ...
とすると、
...
両辺を (n-1)！ で割ると
{ 1/(n-1)！ } lim[z→π/2] (d/dz)^(n-1) g(z) = (-1) 。
質問文中の「方法」のとおりです。」

には
「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」などが出てきますが、

これはmtrajcp様から頂いた画像みたいな感じに
「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」をして

(z-π/2)の次数をずらしてf(z)=tan(z)の留数を質問文中の「方法」で求めた解答と言う事でよろしいでしょうか？

また、

>>＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
＞ となぜわかったのでしょうか？

これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。


No.15 の「その箇所」がどの部分なのかを教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 18:15

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 13:13

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではないので、

テイラー展開するというのは間違いではありません

g(z)はg(z)=(z-π/2)tan(z)でよいのだけれども

「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるために
」
という
目的が間違いなのです

その指示をした人は

f(z)=tan(z) の留数を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)

をテイラー展開するといったのではないのですか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> f(z)=tan(z) の留数を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)

をテイラー展開するといったのではないのですか?


何と言われたのかは覚えておりません。
申し訳ありません。

ですが、なぜg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いなのでしょうか？

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いとmtrajcp様が仰る理由としては、

留数とは数時間前に頂いた画像の様に、
g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点では為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)は留数を持たない為でしょうか？

数時間前に頂いた画像のやり方をすれば、無理やりg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は求められるのだと思いますが。

お礼日時：2025/01/06 14:21

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 10:43

留数は(-1)次の項の係数なのだから

tan(z)の(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　の係数(留数)は　a(-1) だけれども

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+…

(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　は
(0)次の項定数項　a(-1) になるから

a(-1)は　(z-π/2)tan(z)　の　(0)次の項定数項であって(-1)次の項(留数)ではない

①
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)(z-π/2)をテイラー展開した場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は別の変数b(m)を使って

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

としなければいけません
そうすると

a(-2)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)
の値が一致し
b(-1)=a(-2)
となるのです

②
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開した
場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開は別の変数c(j)を使って

g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^j

としなければいけません
そうすると
a(0)の値と
g(z)=tan(z)/(z-π/2)を
ローラン展開した際のz=π/2の時の留数
c(-1)
の値が一致し
c(-1)=a(0)
となるのです

③
tan(z)/(z-π/2)の留数
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は
g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
ではありません
といっているのだから

a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)より
a(0)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)をローラン展開した際のz=π/2の時の
a(-2)
の値は
一致しません

No.17 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/06 08:30

←No.15 補足

おそらく No.14 が唯一の正解なんだろうし、
さすがにそろそろ本気で腹が立ってきた。

＞ 質問文中の「方法」では g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求める事は出来ない
＞ と言う事でしょうか？

そう言ってるだろ。

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めるならば mtrajcp 様から頂いた
＞ 画像付きの解答のやり方で g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良い
＞ と言う事でよろしいでしょうか？

画像？ 冗長な計算は要らん。
lim[z→π/2] g(z) と (d/dz) g(z) を計算してみて、g(z) が z=π/2 で正則
なことから「正則だから留数は 0」と書くだけ。言ったろ？

＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0 と (d/dx) x^k = k x^(k-1) は少し違う式
＞ に見えますが、同じ式である事を証明して頂けないでしょうか。

これは、No.8 に「繰り返し使うだけ」って書いた。
これがピンと来ない奴に留数は無理ゲーだとも書いたね？

数学的帰納法で...
m=0 のとき (d/dx)^0 x^0 = (0！)x^0 で成立。
m=M のとき成立すると仮定すると、
(d/dx)^(M+1) x^(M+1) = (d/dz)^M (d/dx) x^(M+1)
　　　　　　　　　　= (d/dz)^M (M+1)x^M
　　　　　　　　　　= (M+1) (d/dx)^M x^M
　　　　　　　　　　= (M+1) (M！)x^0　　　←帰納法の仮定
　　　　　　　　　　= (M+1)！ x^0.

＞ (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
＞ にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になることはわかっ
＞ のですが、これは何を表しているのでしょうか？

k は右辺の Σ の総和係数であり、
k=n-1 が右辺の冪級数の項が定数項になるときの添字であり、
それが、lim[z→π/2](左辺) の値が c(-1) { (n-1)！ } になるってことである。
だから、lim とった後 両辺を (n-1)！ で割れ！
って話なんやけど、どう説明したら伝わるんや？

この回答へのお礼

説明して下さりありがとうございます。
不快にさせてしまい申し訳ありません。

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるならばmtrajcp様から頂いたその他の解答や画像を載せた解答のやり方でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？


ちなみに、mtrajcp様の2025.1.4 04:04の解答の「その指示は間違っています」とは
ありものがたり様から頂いた「←補足 01/05 01:19

質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの...」から始まる解答の様な事を伝えたかったのだとわかりました。


ありものがたり様、
「質問の

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」

のやり方は、

「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
になっている。だから、

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」

となぜわかったのでしょうか？

どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。」

にも答えて下さるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 10:56

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 19:47

(z-π/2)tan(z)の留数はa(-2)=0≠-1=a(-1)

a(-1)=-1はtan(z)の留数だけれども
a(-1)=-1は(z-π/2)tan(z)の留数ではない
(z-π/2)tan(z)の留数はa(-2)=0である

この回答へのお礼

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？」

と質問しましたが、
g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2での留数は頂いた画像よりa(-2)=0との事ですが、
なぜa(-1)=-1ではないのでしょうか？

また、質問①〜③に関して留数が一致しない事を頂いた解答の様に画像でわかりやすく解説して頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/05 23:18

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/05 12:16

←補足 01/05 01:19

質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
になっている。だから、

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。

そんなの、No.2 から言ってるじゃないの。
なんだか長くて読みにくい計算を繰り返し書いてる人もいるけど。

Res[ ｇ(z), z=π/2 ] の計算としては、
g(z) が z=π/2 で正則であることを示せば「よって Res=0」でオシマイ。
What else?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を...
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。


と言う事は、
質問文中の「方法」 ではg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事は出来ないと言う事でしょうか？

もしそうならば、2025.1.4 10:07に頂いたありものがたり様の解答はf(z)=tan(z)の留数を求める解答であり、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める解答では無いとわかりました。

話を戻し、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるならばmtrajcp様から頂いた画像付きの解答のやり方でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？


また、2025.1.4 19:49に頂いたありものがたり様の解答より

>>＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0が
＞ どこから出て来て何を表しているのかわかりません。

式自体は、教科書にも載ってる公式 (d/dx) x^k = k x^(k-1) を
繰り返し使うだけ。


に関して、(d/dx)^m x^m = (m！)x^0と(d/dx) x^k = k x^(k-1)は少し違う式に見えますが、同じ式である事を証明して頂けないでしょうか。


>> 何を表しているかと言えば、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
...右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること
を説明したかった。


との事ですが、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になることはわかったのですが、これは何を表しているのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 04:16