a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

• 2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているかと言えば、
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/10 09:21

• 質問3,
  2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているか
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/11 04:58

• 2025.1.10 18:34にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」を以下の様に編集します。
  
  2025.1.5 12:16にありものがたり様から頂いた解答の
  
  >> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  より、
  
  mtrajcp様もありものがたり様も
  質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/14 20:13

• 質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答を基に、
  
  n≧-1のとき
  z≠π/2のとき
  g(z)=(z-π/2)tan(z)　
  ↓両辺を(n-1)回微分すると
  ...
  ↓z→π/2　とすると
  g^(n-1)(π/2)/(n-1)!={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  ∴
  a(n)
  =g^(n-1)(π/2)/(n-1)!
  ={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  とする事で、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのかわかりました。
  
  質問8,9に関して答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/21 19:51

• 質問10,
  
  2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  ...
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  や
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >> 質問4
  
  展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
  ...
  
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、
  
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の画像より、
  正しくはg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではないでしょうか？

    補足日時：2025/01/22 03:09

• 質問11,
  
  2025.1.15 20:11に頂いた解答の
  
  >> 質問1
  「
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  」
  の
  式は間違っている
  
  ...c(-1)　にならないから
  間違っているから
  
  
  に関して、
  
  右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)
  
  になるから　c(-1)　にならないから
  
  との事ですが、
  c(-1)となる様に、
  右辺でk=0で、n=-1として、
  
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)
  
  となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/22 10:28

No.48 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/23 11:12

「

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
」
は
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{n+1} の z=π/2 での留数
だから
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数というのは間違いで

h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{n+1} の z=π/2 での留数
a(n)=Res(h(z),π/2)
を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開の(n+1)次係数
「
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
」
を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します

展開した式から(z-π/2)^(n+1)の係数
「
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
」
を取り出します。

「
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
」ではなく

展開した式から(z-π/2)^(n+1)の項を取り出し
(n+1)回微分して(n+1)!で割ると
展開した式から(z-π/2)^(n+1)の係数
「
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
」
を取り出したことになるのです

この回答へのお礼

質問8については長くなってしまったので、以下のURLに載せました。

pastebin.com/QXA4TQwe



質問6を以下の様に訂正して、
訂正した質問6を質問9とします。

質問9,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

また、

2025.1.22 03:09と2025.1.22 10:28の「質問者からの補足」に書いた質問10と質問11にも答えて頂きたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/23 23:23

No.47 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/23 10:17

質問文中の方法は、tan(z) の z=π/2 での留数を求める手順ではありません

もし
質問文中の方法は、tan(z) の z=π/2 での留数を求める手順だとしたら
「
展開した式から定数の係数を取り出します。
」
でなければならないのです
だけれども
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
となっているから

質問文中の方法は、tan(z) の z=π/2 での留数を求める手順ではありません
だから

質問文中の方法は、tan(z) の z=π/2 での留数を求める手順だといっていることが
間違いなのです

だからといって
g(z) の z=π/2 での留数を求める手順でもありません

「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
から

質問文中の方法は、h(z)=tan(z)/(z-π/2) の z=π/2 での留数を求める手順

でなければならないのです

No.46 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/22 14:22

＞ 質問8,

＞ >> ありものがたり様が
＞ 質問文中の「方法」は
＞ f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求めるものだといっていることが間違い
＞ だといっているのです

嘘つくなよ。
私は、1/4 の No.6 からずっと、
質問文中の方法は、tan(z) の z=π/2 での留数を求める手順であって
g(z) の z=π/2 での留数を求める手順ではない
って言い続けてるだろ。

No.45 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/18 20:19

画像の通り

この回答へのお礼

わざわざ画像でわかりやすく解答して頂きありがとうございます。


2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の2025.1.17 06:54の「質問者さんからお礼」に書いた質問を以下の様に質問7、質問8、質問9として編集致しました。
どうか答えて頂けないでしょうか。



質問7,
>> g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


申し訳ないのですが、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのか過程の計算を教えて頂けないでしょうか。



質問8,
>> ありものがたり様が
質問文中の「方法」は
f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求めるものだといっていることが間違い
だといっているのです


との事ですが、
ありものがたり様からの2025.1.7 18:47の解答には、
「No.15 に
...
なぜわかったか、理由が直上の文に書いてあるね？」

や

2025.1.11 07:15の解答には、
「質問文の「方法」は、
...だけの話。」
と書いてありますが、
質問文中の「方法」でf(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める事が間違いなのでしょうか。
仮に間違いならばなぜ間違いなのか理由を教えて下さい。



質問6を以下の様に訂正して、
訂正した質問6を質問9とします。

質問9,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/20 03:28

No.44 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/16 15:19

tan(z)のz=π/2でのローラン展開を

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

とすると

a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

左辺tan(z)のローラン展開のn次係数a(n)
と
右辺 tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数
は
等しい

n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]

左辺tan(z)のローラン展開のn次係数a(n)
と
右辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数
は
等しい

Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]

だから

左辺tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数
と
右辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数
は
等しい

だから

左辺
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数を求めるために

右辺
g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数を求めます

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

>> tan(z)のz=π/2でのローラン展開を

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

とすると

a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

左辺tan(z)のローラン展開のn次係数a(n)
と
右辺 tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数
は
等しい



>> n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]

左辺tan(z)のローラン展開のn次係数a(n)
と
右辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数
は
等しい



>> Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]

だから

左辺tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数
と
右辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数
は
等しい

だから

左辺
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2 での留数を求めるために

右辺
g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開(n+1)次係数を求めます


と言った留数と係数が等しいとの事ですが、
この留数と係数が等しいとなるまでの計算を
どうか2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答に載せてある画像の様にわかりやすく画像で解説して頂けないでしょうか。

お手数をお掛けして大変申し訳ありませんが、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/17 06:55

No.43 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/16 10:46

質問4

展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を取り出した時点では
(m+1)!で割る必要ないけれども
m+1回微分すると
(m+1)!が発生してしまうから
(m+1)!で割るのです

g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

なのです
{微分していないから(n-1)!で割る必要ないのです}

取り出した係数

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

は分母に(n-1)!があるから
すでに
(n-1)!で割られているから

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

を(n-1)!で割るのは間違いなのです

質問5

質問文中の「目的」
g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を求めるのは間違いなのです

質問文中の「方法」は
f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求めるものではありません

どちらかというと
質問文中の「方法」は
h(z)=tan(z)/(z-π/2)のz=π/2における留数を求めるものです

ありものがたり様が
質問文中の「方法」は
f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求めるものだといっていることが間違い
だといっているのです

質問文の「目的」も「方法」も間違っているから
間違った質問には答えられないというのが正しい答えです

質問6

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるという
目的が間違っているのです
だから

「目的」は
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める
」のではなく

「
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数(residue)を求める
」
のが「目的」である
と
訂正したのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


申し訳ないのですが、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのか過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


>> ありものがたり様が
質問文中の「方法」は
f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求めるものだといっていることが間違い
だといっているのです


と言う事は質問文中の「方法」でf(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める事が間違いであるだけで、
ありものがたり様の過去の解答の計算自体は数学的には正しいと言う事でしょうか？


申し訳ありません。
質問6の内容に誤りがありました。

「訂正した質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでの過程の計算でしょうか？」

ではなく、正しくは

「訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算でしょうか？」

です。


質問6を以下の様に訂正して、
訂正した質問6について質問があります。

質問6,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/17 06:54

No.42 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/15 20:11

g(x) は tan x ではありません

g(x) は (z-π/2)tan(x)　です

1度たりとも　g(x) を　tan x にしたことはありません　

g(z)=(z-π/2)tan(z)

です

質問1
「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の
式は間違っている

f(z) が　n=1　位の極を持つとき

右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)

になるから　c(-1)　にならないから
間違っているから

「
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺でk=n-1の項の係数が c(-1) { (n-1)！ }
」
にならないから
間違った式を理解する必要はありません

質問2

x^m
↓微分すると(1回目)
mx^(m-1)
↓微分すると(2回目)
m(m-1)x^(m-2)
↓微分すると(3回目)
m(m-1)(m-2)x^(m-3)
↓微分すると(4回目)
m(m-1)(m-2)(m-3)x^(m-4)
↓微分すると(5回目)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)x^(m-5)
…
↓微分すると(m回目)

(m!)x^0


質問3

(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①
の
間違った式と

画像の式は全く関係ない別の式です
どの部分にも当たりません

画像の式は

1/(z+1)
↓微分すると(1回目)
-1/(z+1)^2
↓微分すると(2回目)
2/(z+1)^3
↓微分すると(3回目)
-3/(z+1)^4
↓微分すると(4回目)
4/(z+1)^5
↓微分すると(5回目)
-5/(z+1)^6
…
↓微分すると(n回目)

{(-1)^n}n/(z+1)^(n+1)

の証明だけれども

間違った①の式は

(z-π/2)^m
↓微分すると(1回目)
m(z-π/2)^(m-1)
↓微分すると(2回目)
m(m-1)(z-π/2)^(m-2)
↓微分すると(3回目)
m(m-1)(m-2)(z-π/2)^(m-3)
↓微分すると(4回目)
m(m-1)(m-2)(m-3)(z-π/2)^(m-4)
↓微分すると(5回目)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(z-π/2)^(m-5)
…
↓微分すると(m回目)

(m!)(z-π/2)^0

の説明なのだから全く別の式です

No.41 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/15 15:12

←補足 01/14 20:13

いくつか前の補足から、強引に
私の回答はm氏と同じって方向に持ってこうとしているようだが、
今回質問の一桁番台の回答を順に見てごらん。

当初は g(x) は tan x じゃない...とだけ言ってたm氏が
途中から私の回答に寄せてきてんだよ。
長い計算や重複投稿で以前の回答が奥へ流れて、
工作が傍目から伏せられているけど。

No.40 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/15 09:33

g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

なのです

取り出した係数

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

を(n-1)!で割るのは間違いなのです

質問文中の「方法」は、
「
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
」
は間違いなのです

だから
質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問があります。

質問4,
>> 質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
...
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。


に関しては、m=n+2より、
展開した式から(z-π/2)^{n+1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を取り出し
m+1回微分し
(m+1)!で割る事がわかりました。

>> g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

なのです

取り出した係数

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!

を(n-1)!で割るのは間違いなのです


なぜ(n-1)!で割るのは間違いなのでしょうか？


質問5,
ありものがたり様は、
g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を求める解答をしているのではなく、f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める解答をしているのだとしても、
mtrajcp様は質問文中の「方法」自体が間違っていると仰っていますが、

と言う事はありものがたり様の解答は質問文中の「方法」によるf(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める解答である為、
ありものがたり様の今までの解答は全て間違っていると言う事でしょうか？

仮に、ありものがたり様の今までの解答が全て間違いだとしても、2025.1.12 19:09にありものがたり様から頂いた解答の2025.1.13 10:00の「質問者さんからお礼」の留数に関する記述は正しいと思っています。


質問6,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/16 09:16

No.39 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/15 09:19

g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^(n-1)(0)/(n-1)!

なのです

取り出した係数

g^(n-1)(0)/(n-1)!

を(n-1)!で割るのは間違いなのです

質問文中の「方法」
「
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
」
は間違いなのです

だから
質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。